fonction convexe

[invitec1ddcf27]

Bonjour,
je cherche une méthode élémentaire pour montrer que la fonction est convexe pour .
Pour , c'est facile puisqu'elle est de classe a dérivée seconde strictement positive. Mais pour , c'est moins clair.
Merci d'avance !
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[invitef75e4a38]

Haileau

Soit f(x) = |x|^p
Soit L dans [0;1] et x,y dans R

f(Lx + (1-L)y) = |Lx + (1-L)y|^p <= L^p.f(x) + (1-L)^p.f(y)

Mais comme 0 <= L <= 1
On a bien L^p <= L
Pareil étant donné que 0 <= 1-L <= 1

Et on peut remajorer tout le bazar pour avoir l'inégalité de convexité
Tout ça avec p > 0.

[invitec1ddcf27]

merci bcp !

[Flyingsquirrel]

|Lx + (1-L)y|^p <= L^p.f(x) + (1-L)^p.f(y)

Euh avec , , et cette inégalité donne c'est-à-dire ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea41c27c1]

Bonjour,
je cherche une méthode élémentaire pour montrer que la fonction est convexe pour .
Pour , c'est facile puisqu'elle est de classe a dérivée seconde strictement positive. Mais pour , c'est moins clair.
Merci d'avance !

Elle est aussi C^2 pour p <2, et en 0 c'est pas dur de montrer que la fonction pente est croissante.

[invitef75e4a38]

Oups :/
Bah j'ai merdé où ?

[God's Breath]

Bonjour,

Soit f(x) = |x|^p
Soit L dans [0;1] et x,y dans R

f(Lx + (1-L)y) = |Lx + (1-L)y|^p <= L^p.f(x) + (1-L)^p.f(y)

Cette inégalité est en fait , c'est-à-dire, puisque est multiplicative, .
Tu écris donc que est sous-multiplicative, ce qui est faux.

[invitef75e4a38]

Oui mais f(L) = L^p

Et L^p <= L puise que 0 <= L <= 1 non ?

[God's Breath]

f(Lx + (1-L)y) = |Lx + (1-L)y|^p <= L^p.f(x) + (1-L)^p.f(y)

Cette inégalité est fausse.

[invitef75e4a38]

Ah oki
J'vois mieux
Je persistais...

Merci