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ordre de multiplicité des racines de polynômes

  1. lollipopfromMPC

    Date d'inscription
    octobre 2009
    Âge
    23
    Messages
    4

    Question ordre de multiplicité des racines de polynômes

    Bonjour !
    J'ai un énorme probleme avec mes maths ! Je ne comprends rien à mon exercice sur l'ordre de multiplicité des racines, c'est en DM mais on a fait aucun exemple en classe, je dois me débrouiller simplement avec des définitions ... !
    Alors j'ai plus ou moins compris le principe mais dans le polynôme de C[X] : Q = X3-iX2+X-ii²=-1
    Il m'est demandé de donner l'ordre de multiplicité de la racine i dans Q ... Et là je ne sais plus ... C'est 2 ?
    HELP !


     


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  2. jobherzt

    Date d'inscription
    janvier 2005
    Âge
    30
    Messages
    1 412

    Re : ordre de multiplicité des racines de polynômes

    Salut,

    Si a est une racine d'un polynome P(X), tu sais qu'il existe Q(X) tel que P(X)=(X-a)Q(X). Si a est encore racine de Q(X), il existe tel que , et ainsi de suite. Ce qu'on appelle la multiplicité d'une racine c'est le nombre de fois que tu peux faire ca, en gros. Cad que a est d'ordre k s'il existe R(X) tel que , mais qu'il n'existe pas de R(X) tel que .

    Donc pour repondre a ta question, tu dois essayer de diviser ton polynome par (X-i), et regarder si i est encore racine du quotient que tu obtiens.

    Une autre chose que tu peux remarquer et qui peut t'aider, c'est que si a est une racine d'ordre au moins 2 d'un polynome P(X), alors a est racine du polynome derivé P'(X). DOnc une autre caracterisation est : a est d'ordre k s'il est racine de mais pas de , ou est la dérivée k-ieme.
     

  3. lollipopfromMPC

    Date d'inscription
    octobre 2009
    Âge
    23
    Messages
    4

    Re : ordre de multiplicité des racines de polynômes

    Merci merci beaucoup !!! Tu me sauves mes vacances !!
     

  4. jobherzt

    Date d'inscription
    janvier 2005
    Âge
    30
    Messages
    1 412

    Re : ordre de multiplicité des racines de polynômes

    Je viens de me rendre compte que je suis allé un peu vite, pour la caracterisation avec les derivés, une racine est d'ordre k si elle est racine de toutes les dérivés jusqu'a et qu'elle ne soit pas racine de .

    En effet, a est d'ordre au moins 1 s'il est racine de P, d'ordre au moins 2 s'il est racine de la derivée premiere etc..

    Il faut donc "s'arreter" a et pas comme je l'ai dit dans mon precedent message, desolé.
     

  5. lollipopfromMPC

    Date d'inscription
    octobre 2009
    Âge
    23
    Messages
    4

    Re : ordre de multiplicité des racines de polynômes

    Ok merci beaucoup
     


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  6. lolitawix

    Date d'inscription
    octobre 2008
    Âge
    22
    Messages
    34

    Re : ordre de multiplicité des racines de polynômes

    bsr à tous
    pour cette caractérisation avc la dérivée ;j ai essayé de faire sa démonstration mais malheureusement cela n m était pas facile
    peux je avoir votre aide
    merci d avance
     

  7. lollipopfromMPC

    Date d'inscription
    octobre 2009
    Âge
    23
    Messages
    4

    Re : ordre de multiplicité des racines de polynômes

    Alors là ... J'ai vraiment trop de mal à comprendre, je suis désolée je suis incapable de t'aider :S
     


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