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problème de suite ...

  1. Gunthar

    Date d'inscription
    octobre 2004
    Âge
    29
    Messages
    108

    problème de suite ...

    bonjour à tous,

    On considère la suite(un) définie par :
    u0 = 1
    un+1 = un +2n+3

    1/ Etudiez la monotonie de la suite (un).

    Voici mon idée.
    Si un+2 > un+1 alors la suite est croissante et inversement.
    un+2 = un+1 + 2n + 5
    un+2 = un + 4n + 8
    or, si on compare un+2à un+1 on constate que 4n+8 est supérieur à 2n+3.
    Donc la suite (un) est croissante.

    2/ (il est là mon problème)

    Démontrez que pour tout entier naturel n, un > n² .
    Je me suis dis : remplaçons n par n+1
    un+1 > n² + 2n + 1
    un + 2n +3 > n² + 2n +1
    on peut retirer les 2n de chaque côté
    un + 3 > n² +1

    Mais là je suis bloqué et j’ai rien montré… auriez vous donc une suggestion pour m’aider svp ?
    De plus je suis même pas sur pour la première question ( j'ai des difficultés avec les suites :/ )

    Merci beaucoup pour vos futures réponses.

    -----

     


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  2. Jean-Charles

    Date d'inscription
    juillet 2004
    Localisation
    Laval
    Âge
    30
    Messages
    198

    Re : problème de suite ...

    Pour la 1, demo par récurence;

    Soit P(n) la prop. "U(n+1) > U(n)"

    P(0) est vrai, car P(1)=1+2+3=6 > P(0)

    Ensuite, suppossons P(n) vrai
    On a alors U(n+1) > U(n)
    U(n+1)+2n+3 > U(n)+2n+3
    U(n+2) > U(n+1)
    ect...

    Pour la 2:

    Tjs pas récurence...

    Cette fois, la prop. c'est Un > n²

    P1 est vrai (6>1²)

    Supp Pn Vrai

    U(n)>n²
    U(n)+2n+3 > n²+2n+3 (au ajoute 2n+3 dans chaque membre)
    U(n+1)>(n+1)²+2 (developpe a coté pour vérifier...) donc c'est aussi supérieur a (n+1)² car (n+1)²+2>(n+1)²

    CQFD...
    Si ton problème à une solution, rien ne sert de s'affoler, sinon, s'affoler ne sert à rien!
     

  3. GuYem

    Date d'inscription
    mars 2005
    Localisation
    Poitiers
    Âge
    36
    Messages
    2 132

    Re : problème de suite ...

    Ton raisonnement pour la première question ets correct. Seulement il tourne un peu en rond.
    Tu as fait un peu trop de boulot :
    u_(n+2) = u_(n+1) + 2n + 5 <--- une fois que tu as ça c'est fini. Il suffit de passer le u_(n+1) à gauche pour avoir
    u_(n+2) - u_(n+1) = 2n + 5 et 2n+5 est clairement >0
    Donc
    u_(n+2) - u_(n+1) > 0
    donc
    u_(n+2) > u_(n+1)
    ce que tu voulais montrer.
    Moralité : quand on veut montrer que machin > bidule, on essaye de trouver le signe de la différence machin - bidule.

    Pour la deuxième je dirais qu'il faut faire une récurrence.
    Tu es mal parti car tu as commencé à utiliser ce qu'il faut montrer!
    Essaye d'amorcer la récurrence, de la faire passer au rang suivant et reviens si tu n'y arrives pas.

    EDIT : grillé. Bon la récurrence pour la première question c'est pas obligé du tout quand même! ma méthode est plus jolie et moins lourde, na!
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.
     

  4. Gunthar

    Date d'inscription
    octobre 2004
    Âge
    29
    Messages
    108

    Re : problème de suite ...

    merci énormément , j'ai enfin compris.

    et bonne soirée..
     

  5. Jean-Charles

    Date d'inscription
    juillet 2004
    Localisation
    Laval
    Âge
    30
    Messages
    198

    Re : problème de suite ...

    EDIT : grillé. Bon la récurrence pour la première question c'est pas obligé du tout quand même! ma méthode est plus jolie et moins lourde, na!
    C'est vrai que la récurence n'est pas obligatoire, mais ce qui est cool alors les suites (et oui, les maths sont cool ^^ ) c'est que la récurence marche a (presque) tous les coups...

    Mais pour cette suite, la soustraction est bcp plus rapide...
    Si ton problème à une solution, rien ne sert de s'affoler, sinon, s'affoler ne sert à rien!
     


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  6. GuYem

    Date d'inscription
    mars 2005
    Localisation
    Poitiers
    Âge
    36
    Messages
    2 132

    Re : problème de suite ...

    Les maths c'est cool, tu l'as dit. :geek:

    C'est vrai que si on maitrise bien la récurrence (ce qui n'est pas facile du tout au début) et qu'on bloque sur un problème de suite on peut la tenter. Ca a de trés fortes chances de faire conclure.
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.
     


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