Bonjour,
J'aimerais, a partir d'une image 2D d'un objet plus ou moins rectangulaire pris sous un certain angle, retrouver les dimensions initiales de celui ci.
Je m'étais d'abord dit: avec une grandeur donnée (valeur "échelle") je pourrais avoir les autres (par une règle de trois pour simplifier), mais ça me parait beaucoup plus compliqué avec les perspectives (voire impossible?). J'avoue être dans le flou.
Comment faire? Merci.
Bonjour,
C'est normalement pas possible avec une seule photographie, c'est d'ailleurs grace au fait que l'on a deux yeux que l'on peut voir en 3D (et c'est sur ce principe qu'est basé la stéréographie). Cela dit, si tu sais que les dimensions que tu veux déterminer sont des distances entre des points situés dans un même plan (par exemple une feuille de papier rectangulaire posée sur une table, on peut considérer qu'elle n'a que deux dimensions, ou bien une boite rectangulaire qui a cette fois une certaine épaisseur mais telle que les points de la surface supérieure sont à la même hauteur et sont alors situés dans un certain plan) alors il s'agit d'un exercice classique de géométrie projective, traité par exemple dans le livre de géométrie pour l'agrégation de Michèle Audin. Cela permet notamment de retrouver d'où une photographie à été prise et c'est le thème de l'exercice (je ne sais plus le numéro ni la page mais dans le titre de l'exo il y a cette question utile à tout photographe).
L'idée est d'utiliser les coniques qui sont invariantes par projection (si tu regarde un disque de biais tu vois toujours une ellipse, le cercle étant un cas particulier d'ellipse). Tu as deux plans, le "réel" situé dans notre espace 3D et dans lequel se trouve les points entre lesquels tu veux calculer des distance (pour le problème de l'exo c'est le plan d'une carte géographique) et celui de la photographie. On passe d'un plan à l'autre par une transformation projective bijective inconnue (il faut faire attention au fait que ce n'est pas une transformation affine puisque l'oeil ou l'appareil photo produit une perspective "avec point de fuite" et donc certaines droites qui étaient parallèle avant projection ne le sont plus au sens de la géométrie classique puisqu'elles se coupent sur la ligne d'horizon, c'est un grand classique, on peut penser par exemple à une photo de rails de chemin de fer qui ne sont plus parallèles sur la photo et qui semblent se rejoindrent et se couper au niveau de l'horizon). La transformation étant inconnue, il faut alors 5 points de repères non trois à trois alignés. Par exemple, tu peux utiliser un objet dont tu connais parfaitement les dimensions et que tu places à coté dans la photographie. Tu choisis un point sur la photo (dont tu connais les coordonnées dans le plan de la photo) et tu veux déterminer ses coordonnées dans le "plan réel". Tu choisis 4 points parmis tes points de repères, il y a alors une unique conique qui passe par tes 4 points de repères et ton point inconnu (par 5 points non trois à trois alignés passe toujours une unique conique) on peut alors calculer le birapport qui permet de définir cette conique à patir des 4 points de repères dans le plan de la photo. ce birapport étant conservé par projection la conique qui correspondante dans le plan réel est la conique qui passe par les 4 points de repères et qui a le birapport en question. On a dont déterminé une conique dans le plan réel surlaquelle se trouve notre point inconnue. Ce n'est pas suffisant mais il suffit de refaire la même chose avec une autre conique (en prenant un autre groupe de 4 points de repères parmis les 5). Le point inconnu se trouve alors à l'intersection des deux coniques ainsi déterminées et l'on peut calculer ses coordonnées exactement. On peut ainsi calculer les coordonnées de chaque points de l'objet réel et donc les distances entre ces points et donc les dimensions de l'objet rectangulaire.
Tu peut aussi voir un exemple:
http://www.idfolles.com/spip.php?article587
Les mathématiques ne s'apprennent pas elles se comprennent.
Bonjour et merci pour cette réponse!
Imaginons que je prenne en photo un mur de face, et que j'y colle mon objet référence qui et un bout de papier, cet objet est il valable? Je veux dire qu'il n'y aura aucun perspective sur celui ci, cela est il gênant?
Même si je crois comprendre que mon problème est soluble, j'avoue que je suis loin de comprendre comment en faisant passer une conique par ces points (quelle conique?) on peut déterminer les coordonnés réels...
Connaitrais tu un document expliquant tout ça? J'ai vu un lien vers un document de Chasles mais ça me parait bien trop théorique...
Merci
Oui c'est un bon exemple. Si en plus tu te met bien face au mur (l'axe de l'appareil est orthogonal au mur) alors dans ce cas c'est encore plus simple puisque dans ce cas tu as juste un rapport d'échelle à trouver et pas besoin d'utiliser des coniques. Dans ce cas tu as les dimensions de ton objet de référence réelles et sur photo et les dimensions de ton objet à mesurer sur photo et une règle de 3 te donne ses dimensions réelles.Imaginons que je prenne en photo un mur de face, et que j'y colle mon objet référence qui et un bout de papier, cet objet est il valable? Je veux dire qu'il n'y aura aucun perspective sur celui ci, cela est il gênant?
Tu dis que l'objet que tu mesures est plus ou moins rectangulaire est-ce que cela veut dire qu'il est plus ou moins plat ou est-ce c'est un parallèlépipède rectangle (pavé)?
Dans le cas général tu as un objet 3D dans l'espace réel qui peut être décrit par des points particuliers: ses sommets qui sont reliés par des arrètes si ton objet est à peu près polyèdrique. Sinon, la donnée d'un certain nombre de points à la surface de l'objet permet en général de bien le décrire. C'est points ont 3 coordonnées dans un repère de l'espace ambiant à choisir. Si tu connais les coordonnées de deux points alors tu as sans difficulté la distance entre ces points. Les dimensions d'un objet sont en général des distances entre ses sommets. Si l'ensemble des points dont tu veux mesurer les coordonnées ne se trouvent pas dans un même plan de l'espace alors tu ne peux y arriver avec une seule photographie (pour la simple et bonne raison que si tu prend un objet plus grand que tu photograpie de plus loin tu peut obtenir la même photo et donc tu ne peux connaître les dimensions de l'objet sans connaître à priori sa distance à l'appareil ou inversement sa distance sans connaître ses dimensions). Sinon, tes points sont contenus dans un plan, par exemple:
Je pose sur une table une feuille A4 (qui a donc des dimensions bien connues) et une boite à chaussure et je veux mesurer les dimensions du fond de ma boite à chaussure dont les sommets se trouvent dans le même plan que celui de la feuille de papier à savoir la surface de la table.
si la photographie est prise "de face" par rapport au plan en question alors il suffit de trouver un rapport d'échelle par une règle de 3.
Si la photographie est prise sous un certain angle mais que l'appareil photo est réglé avec une distance focale infinie il s'agit d'une perspective cavalière, c'est une transformation affine qui transforme des droites parallèles en droites parallèles, il suffit de trois points de repères,
On choisit les coordonnées de ces points dans l'espace réel:
cela fixe un repère pour le plan de l'espace réel dans lequel se trouvent les points à mesurer. En mesurant les coordonnées de ces points de repères dans le système de coordonnées de la photographie on trouve la matrice de la transformation affine (il peut être intelligent de choisir comme origine pour le système de coordonnées sur la photo, l'image du point O sur la photo auquelle cas la transformation affine est vectorielle et est juste décrite par sa matrice) et la c'est fini, on peut obtenir les coordonnées réelles de n'importe quel point appliquant l'inverse de la matrice à ses coordonnées photographiques.
Si la distance focale de l'appareil n'est pas infinie, c'est une persepective "point de fuite" (des droites parallèles dans la réalité ne le sont plus sur la photo). Il faut alors utiliser des coniques et le birapport. Il y a un bon cours de géométrie projective dans le lire de Michèle Audin (disponible en consulation dans n'importe qu'elle bibliothèque universitaire scientifique puisque c'est un grand classique de l'agrégation de mathématique), mais il y a beaucoup d'autres cours de géométrie projectives qui existent. Tu peux commencer par regarder la page de wiki sur le birapport:
http://fr.wikipedia.org/wiki/Rapport_anharmonique
L'idée du birapport est justement que c'est un raport qui généralise le rapport d'échelle et qui est conservé lors d'une projection (photographie prise de biais) contrairement au rapport d'échelle, puisque des objets se trouvant plus loin se voient appliquer un rapport d'échelle différent (ils semblent plus petits).
C'est expliqué sur la page de wiki dans la section: "Rapport anharmonique de quatre droites concourantes"
avec un joli dessin, je cite:
"Un résultat important en géométrie projective stipule qu'une projection centrale conserve le rapport anharmonique"
Autrement dit si tu as 4 points alignés A,B,C,D dans l'espace réel 3D qui ont un certain birapport (qui se calcule à l'aide de leur distances respectives par une formule simple qui est un "rapport de rapports de distances", cf page de wiki), si tu prends en photo ces points alors le birapport de ces points mesuré sur la photo sera le même.
Ensuite la méthode que je t'ai décrite utilise essentiellement les propriété du birapport d'une conique (cf "Rapport anharmonique sur un cercle").
J'espère que cela t'aidera à comprendre le principe, après le détail des calculs pour obtenir les coordonnées de ton point sont un peu compliqués
Les mathématiques ne s'apprennent pas elles se comprennent.
Merci pour tous ces détails, je regarderai toutes les références que tu m'as données!
