Règle de Jensen (convergence de séries)

[invite9822beb9]

Règle de Jensen: (U_n) et (V_n) sont deux suites réelles à terme postifs.
On suppose qu'à partir d'un certain rang, V_n U_n /U_n+1 -V_n+1 > a réel strictement positif.
Alors la série de terme général U_n est convergente.
Quelqu'un aurait-il une idée de la démo ...?
Merci d'avance !
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[GuYem]

Bonjour je ne comprends pas vraiment ton inégalité. Peut-être un manque de parenthèse.. Tu peux réécrire stp ?

[indian58]

Facile!! Tu multiplies ton inégalité par et c'est terminé!

[invite9822beb9]

Je vous réécrit l'inégalité...
V_n *(U_n /U_n+1 )-V_n+1 >a

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9822beb9]

En multipliant par U_n+1 , on obtient:
V_n U_n -V_n+1 U_n+1 >a
En quoi cela me permet-il de conclure sur la convergence de la série de terme général U_n ?

[indian58]

Et le à droite, tu l'aurais pas oublié par hasard??

[invite9822beb9]

Très juste indian 58 , autant pour moi... Mais j'ai bien peur que ca ne fasse pas avancer le pbl...

[invite9822beb9]

Au même sujet, quelqu'un aurait-il une piste de démo pour la règle de Kummer ?
(U_n ), (V_n ) deux suites réelles à termes positifs.
On suppose qu'à partir d'un certain rang V_n*(U_n/U_n+1)-V_n+1<0 et que la série de terme général 1/V_n diverge.
Alors la série de terme général U_n diverge.

[martini_bird]

Salut,

pour la règle de Jensen: démontrer que U_n.V_n est décroissante donc convergente car positive. En déduire que U_r+U_r+1+...+U_n+1 est majoré (penser au télescopage; r est un rang à partir duquel la relation V_n.(U_n/U_n+1)-V_n+1>a est vraie), puis qu'elle est convergente (U_n>0 donc la suite des sommes partielles est croissante...). Conclure.

Pour la règle de Kummer: en écrivant l'inégalité ainsi
,
ça devrait être plus clair.

Cordialement.

[invite9822beb9]

Merci pour les pistes de travail... Mais j'ai biein peur de bloquer à nouveau:
OK pour la décroissance de Un.Vn et donc pour la convergence de cette suite.
Avec M majorant de Un.Vn, en utilisant la relation Vn.(Un/Un+1)-Vn+1>a, j'arrive à majorer Un+1 par M/a, mais la somme serait alors majorée par (n+2-r)*M/a et je n'arrive pas à trouver de majorant indépendant de n...

Concernant la règle de Kummer, j'avais bien vu la modification de l'inégalité, j'avais alors pensé à utiliser d'Alembert en considérant (1/Vn+1)/(1/Vn)>1 du fait de sa divergence avant de me rendre compte que l'on ne pouvait pas utiliser cette inégalité et donc me retrouver bloqué...

Si tu pouvais me refiler une ou deux pistes... Merci d'avance...

[invite9822beb9]

J'ai trouvé une démo pour Jensen:
Vn.Un -Vn+1.Un+1 > a.Un+1 > 0
D'où: la suite (Un.Vn) décroissante positive, par conséquent convergente.
Donc la série de terme générale (Un.Vn)-(Vn+1.Un+1) est convergente.
D'après l'inégalité précédente, la série de terme général Un est convergente.

Je bloque toujours pour Kummer...

[martini_bird]

Salut,

pour Kummer, il suffit de démontrer que pour une certaine constante positive , à partir d'un certain rang (je note ).

En écrivant:





il vient



Je te laisse continuer.

Cordialement.

[invite9822beb9]

C'est tout bon...
Merci Martini_bird pour tes conseils.