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Démonstration de la convergence de séries

  1. le fouineur

    Date d'inscription
    avril 2006
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    290

    Démonstration de la convergence de séries

    Bonjour à tous,

    J' ai en ce moment à titre d'exercices quelques séries dont le terme général est précisé plus loin et pour lesquelles je dois simplement préciser leur nature....

    La première a pour t.g. : u(n)=(1+n^2)/n!

    et je pense qu'on peut conclure à l'aide du critère de d'Alembert:soit

    Limite quand n->oo[u(n+1)/u(n)]

    =Limite quand n->oo[(2+n)/(1+n^2)]=0

    donc la s.t.g. u(n) converge.qu'en pensez-vous?

    mème punition pour la s.t.g. : u(n)=n^2/n!

    Merci d'avance pour vos réponses

    Cordialement le fouineur


     


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  2. chwebij

    Date d'inscription
    janvier 2006
    Localisation
    chez moi au chaud
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    Re : Démonstration de la convergence de séries

    oui c'est exacte
    de maniere intuitive tu peux deja evaluer si elle converge
    avec les croissance comparé on a

    donc lorsqu'on a l'un des trois en denominateur il faut voir si le numerateur est de la forme de l'un des trois, si il est a droite il y a gros a parier qu'elle converge si le num est a gauche ca semble diverger grossierement mais dans tous les cas il faut le demontrer mais au moins on voit ce qu'on cherche!
    dans ton cas on sait deja que ca cv avant de faire les calculs mais ces derniers sont bon!
     

  3. le fouineur

    Date d'inscription
    avril 2006
    Âge
    51
    Messages
    290

    Re : Démonstration de la convergence de séries

    Merci chwebij pour ta réponse rapide

    J' en ai deux autres:

    u(n)=(ln(n))^-n ça converge mais comment le démontrer?quel critère utiliser?

    u(n)=ln[1+(1/n^2)] là, je n'ai vraiment aucune idée.ça converge ou ça diverge?

    Merci pour vos réponses
     

  4. Ithilian_bzh

    Date d'inscription
    mars 2005
    Localisation
    Toulouse
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    29
    Messages
    370

    Re : Démonstration de la convergence de séries

    Pour la deuxième, cherche un équivalent du TG...

    Pour la première j'aurais tendance à majorer le ln(ln(n)), je pense que c'est le plus rapide.
    Astronome ingénieur alternatif
     

  5. chwebij

    Date d'inscription
    janvier 2006
    Localisation
    chez moi au chaud
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    2 162

    Re : Démonstration de la convergence de séries

    ba pour le premier je crois avoir encore plus rapide, un petit coup de cauchy


    et la c'est torché
     


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  6. le fouineur

    Date d'inscription
    avril 2006
    Âge
    51
    Messages
    290

    Re : Démonstration de la convergence de séries

    Bonjour chwebij et Ithilian_bzh et merci pour vos réponses,

    Bien vu chewbij pour l'utilisation du critère de Cauchy pour la 1ère série,en effet y a pas plus simple et plus rapide...

    Maintenant pour la 2ème: u(n)= ln[1+(1/n^2)]
    Le terme général u(n)->0 quand n->+oo mais ce n'est pas suffisant pour démontrer la convergence de la série....
    J'ai calculé l'intégrale associée:c'est:

    Intégrale de 1 à +oo de ln[1+(1/x^2)]*dx

    Et elle vaut:Pi/2-ln(2) la valeur de l'intégrale est finie donc théoriquement la série associée converge....

    "Mathematica" est par contre incapable d' évaluer la série de 1 jusqu'à +oo.Que dois-je en conclure? Est ce que la série converge vraiment?Et dans ce cas quelle est sa limite?

    Merci de m'aider,je suis dans une impasse...

    Cordialement le fouineur
     

  7. Ithilian_bzh

    Date d'inscription
    mars 2005
    Localisation
    Toulouse
    Âge
    29
    Messages
    370

    Re : Démonstration de la convergence de séries

    Comme je te l'ai dit, cherche un équivalent du TG... Toujours commencer par le TG (mon prof de maths avait des méthodes... persuasives pour nous faire renter ça dans la tête )
    Astronome ingénieur alternatif
     

  8. le fouineur

    Date d'inscription
    avril 2006
    Âge
    51
    Messages
    290

    Re : Démonstration de la convergence de séries

    Bonsoir Ithilian_bzh et bonsoir à tous,

    J' ai en effet pu démontrer que la série converge bien en montrant que l'équivalent de

    u(n)=ln[1+(1/n^2)] était v(n)=1/n^2 quand n->+oo

    puis il est un jeu d'enfant de démontrer que la série de terme général v(n) converge (c'est une série de Riemann avec n=2>1)

    En tout cas merci pour ta suggestion qui s'est avérée décisive....

    Cordialement le fouineur
     


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