déterminer un polynôme ...

[invitea997e4d2]

bonjour;
j'ai à faire un exercice qui me semble assez complexe car je n'ai jamais fait ce genre d'exercice la en cours !!
Bref en tt cas je dois le faire car il figure dans mon dm:
j'aimerai un peu d'aide de votre part:
disons qu'il faudrait me donner des pistes pour le démarrer :
voici l'exo!

1a) déterminer un polynôme P su second degrè tel que l'on ait pour tout réel x :
P(x+1)-P(x)=x

ce n'est que le début de l'exercice mais déja la je ne sais pas du tout quoi faire!! que dois je faire ? que dois je chercher ?? aider moi :
(indication; je suis en première S)
Merci
-----

[nissart7831]

bonjour,

prends ton cours et exprime ce qu'est un polynôme du second degré.

[Bleyblue]

Peut être qu'en développant ça tu devrais y arriver :

a(x + 1)² + b(x + 1) + c = x + ax² + bx + c

(j'essaie et je te dis quoi ..)

EDIT : croisement avec nissart7831

[Bleyblue]

Oui ça marche, tu pourras déterminer des conditions sur les coefficients a et b de ton polynôme

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea997e4d2]

excuses moi mais je ne vois pas ou tu veux en venir ???
Mais, pour tes conditions sur les coeffcients a et b; tu dois faire comment;
tu identifies les coefficients ?
a(x + 1)² + b(x + 1) + c = x + ax² + bx + c
tu fais un système ?

a(x-1)²=ax²
b(x+1)²=bx + x
c=c

mais dans l'équation le c du premier coté c'est quoi ?
je suis complétement larguée, déja que mon niveau en maths n'est pas très très bon ....

un fois identifié on trouve P et ...

la suyite de l'énoncé c'est écrire l'égalité prècèdente pour x=1 x=2 ,... x=n je dois donc remplacer x par 1 et 2 et ensuite ?

excusez moi de mon manque de savoir mais bon!

[g_h]

a(x-1)²=ax²

Si tu avais ceci, ton polynôme ne seraît pas un polynôme du second degré.
Par contre en cours on a du t'apprendre à identifier les coefficients d'un polynôme : relis-le !

Indice : il faut avoir les coefficients de chaque degré séparément avant de pouvoir résoudre, là tu ne les as pas.

[nissart7831]

Je reviens à la charge mais exprime la forme générale d'un polynôme et tu pourras exprimer ce que signifie P(x+1) -P(x)=x. Alors seulement tu pourras comprendre les indications de Bleyblue.
Il ne faut pas brûler les étapes alors pars de ton cours.

[invitea997e4d2]

bah dans ce cas :
on dit que P(x)= ax²+bx+c
********P(x+1)=a(x+1)²+b(x+1)+ c


: P(x+1)-P(x)=x
d'ou P(x+1)-P(x)-x=0

je developpe le tout et ensuite j'identifie non ??

[nissart7831]

Voilà, tu as démarré sur la bonne voie alors continue.

[invitea997e4d2]

après développement je me retrouve avec:

a(x+1)²+b(x+1)+c-(ax²+bx+c)=x
ax²+2ax+a+bx+b+c-ax²-bx-c=x
on élimine :
2ax+a+b=x

et la que faire ?
mettre x dans le meme coté ?
ou au contraire dire que 2a=x
******************a+b=0 ??

[invitea997e4d2]

bah je suis bête je dois forcément mettre le x du meme coté !!

[g_h]

après développement je me retrouve avec:

a(x+1)²+b(x+1)+c-(ax²+bx+c)=x
ax²+2ax+a+bx+b+c-ax²-bx-c=x
on élimine :
2ax+a+b=x

OK, c'est très bien !
Maintenant tu peux en effet factoriser par x, ce qui donne :

x(2a-1) + a + b = 0 quel que soit x

Or, un polynôme est nul ssi tous ses coefficients sont nuls (ne pas oublier que a et b sont constants !)
D'où à résoudre :
2a-1 = 0
a+b = 0

Ensuite tu peux conclure sur l'ensemble des polynômes qui satisfont la relation P(x+1)-P(x) = x

[invitea997e4d2]

une fois résolu j'aurais donc le polynome correspondant:
et pour vérifier je repars de l'équation de départ avec les valeurs ...

[invitea997e4d2]

pour le 2) pour écrire l'égalité pour x=1 ça va pour x=2 aussi mais après on me dit pourx=.... et x=n c'est a dire que je dois en réalité prouver que pour tout x positif c'est égal à une telle valeur ? ça me semble assez vague ??

et pr le c) il s'agit d'en déduire la somme S1 = 1+2+..+n encoreun fois je ne vois pas trop de quoi ça en retourne !!
merci de votre aide

[nissart7831]

OK et tu as UN polynôme qui vérifie la relation.

Tu pourrais donner l'énoncé de ton exercice. Tu n'as ecrit que la question 1a dans ton premier message.

[invitea997e4d2]

Ensuite il faut écrire l'égalité avec x=1 x=2 et x= ... x=n
(bref apparamment il faut que x soit toujours positif et donc faut il que écrire ou faut il calculer ? et comment faire pour x=n ??

c) en déduire la somme S1= 1+2+...+n
2)a déterminer un polynome Q de degrè 3 tel que
Q(x+1)-Q(x)=x²
(en réalité il faut faire la meme chose qu'avec le 1)
2) b en déduire S2=1²+2²+....+n²
voilou !!!

[nissart7831]

Pour bien commencer, qu'as tu trouvé pour l'expression du polynôme P après avoir calculé les coefficients ?

Ensuite, tu suis ce qui t'est demandé, c'est à dire exprimer P(X+1) - P(X) = X pour X=1,2,..., n
Un conseil: ne calcule pas la valeur de P en la valeur de X. Continue plutôt à garder P et remplace X par les valeurs demandées en ecrivant chaque ligne de la relation pour chaque valeur de X les unes en dessous des autres. Tu verras alors une simplification et ensuite tu pourras calculer directement .
Allez, c'est presque fini.

Pour le polynôme Q, essaye d'adopter la même démarche que pour le polynôme P en commençant par exprimer la forme d'un polynöme de degré 3.

[invitea997e4d2]

en écrivant chaque ligne de la relation

je ne te suis plus que veux tu dire ??
excuse moi mais je ne saisis pas l'info ..

[nissart7831]

Première chose, donne moi le polynome que tu as trouvé pour P avec les coefficients calculés.

[nissart7831]

En ecrivant la relation P(X+1) - P(X) = X pour x=1,2...n, on a:



...

En sommant toutes ce lignes, la majorité des termes s'éliminent 2 à 2 et il reste:


Prends alors le polynome que tu as trouvé et trouve ses valeurs en n+1 et 1 et en simplifiant un peu tu trouves l'expression de en fonction de n.

[invitea997e4d2]

le résultat du polynome P est a= 1/2 et b= -1/2

car quand on verrifie avec cela :
2a-1=0
a+b=0
su on remplace par les valeurs on tobe bien sur cela

dc le polynome est :ax²+bx+c soit 1/2x²-1/2x

[inviteea95de08]

il ne faut pas calculer mais seulement écrire :

P(2) - P(1) = 1
P(3) - P(2) = 2
...
P(n) - P(n-1) = n-1
p(n+1) - P(n) = n

en additionnant cet empilage, d'un côté tu as 1 + 2 + ... + n
et de l'autre une belle expression que tu vas pouvoir simplifier.
bonne suite.

[nissart7831]

L'expression de ton polynôme P est correcte.
Alors en utilisant ce que je t'ai dit dans le message 20 et qu'a confirmé Clide, la somme 1+2+...n s'exprime en fonction de P(n+1) et P(1). Comme tu as trouvé l'expression de P(X), tu peux calculer P(n+1) et P(1) et après simplification trouver la somme 1+2+...+n.

Tu pourras alors t'inspirer de tout ce que tu as fait pour P en l'appliquant pour Q. Allez, tu y es presque.

[invitea997e4d2]

Okai merci à vous tous !!!!!

[inviteac0ba50f]

Bonjour, je sais que ce post date depuis assez longtemps maintenant mais j'ai également cet exercice et je voudrais vous demander un peu d'aide pour le 2a) :
2)a déterminer un polynôme Q de degré 3 tel que
Q(x+1)-Q(x)=x²

J'ai fait :
Q(x+1)-Q(x)= a(x+1)³ + b(x+1)² +c(x+1)+d-(ax³+bx²+cx+d)

Je trouve :
Q(x+1)-Q(x)=3x(ax+a)+a+b(x+1)+c

Je l'as met égale à 0 et ça me donne :
x²(3a-1)+a(3x+1)+b(2x+1)+c

Je bloque c'est ici, comment trouve-t-on les valeurs de a, b et c ?

J'ai pensé à :
a(3x+1)=b(2x+1)=0
a=b=0
alors x²(3*0-1)=-x²
donc c=-x²

ou j'ai essayé si a=1/3
alors a(3x+1)= (1/3)*3x+1/3 = x+1/3
donc c= x+1/3

mais dans les 2 cas c'est impossible je pense car c ne doit pas dépendre de x, non ? J'avoue je suis un peu perdu... c'est un peu du tâtonnement cette recherche de valeur...
Je dois mal m'y prendre ou peut-être ai-je fais une faute précédemment ?

[God's Breath]

Il faudrait ordonner Q(x+1)-Q(x) suivant les puissances de x pour y voir plus clair.

[inviteac0ba50f]

Je ne suis pas sûr de comprendre ce que tu dis par "ordonner"...

Tu proposes de regarder les valeurs par rapport à :
Q(x+1)-Q(x)= ax³+2ax²+3ax+a+bx²+2bx+cx+c+d -(ax³+bx²+cx+d) = x² ?

Je suis vraiment désolé si ce n'est pas cela dont tu parlais, pourrais-tu reformuler différement?

[inviteac0ba50f]

ha non je crois comprendre ce que tu disais :
Au lieu d'écrire l'équation :
x²(3a-1)+a(3x+1)+b(2x+1)+c = 0
je dois faire par rapport à :
x²(3a-1)+x(3a+2b)+b+c+a=0
et donc j'en déduis que :
a=1/3
b=-1/2
c=1/6