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Courbes de Peano

  1. Snowey

    Date d'inscription
    mai 2011
    Âge
    21
    Messages
    616

    Courbes de Peano

    Bonsoir !
    Je me suis intéressé, suite à la lecture pour mon ADS d'un article de Jean-Delahaye: Labyrinthes de longueur infinie, aux courbes de Peano.

    (1) Cantor et de nombreux autres sont parvenus à construire des surjections de cet intervalle dans le carré.
    Le théorème de Cantor Bernstein assure alors que ces deux ensembles sont en bijection.
    (2) Mais un théorème, de Netto, (cité en début et souvent rappelé à l'ordre) affirme qu'il n'existe aucune bijection continue de dans .

    On a donc plusieurs résultats, dont certains contre-intuitifs !
    - (1) montre qu'une surface et un segment ont la puissance du continu: ils sont infinis, en bijection et je pense que , même si l'intervalle est fermé (une intuition vient à dire que et qu'on a bien , par exemple en choisissant la bijection (continue !) ).
    En ce sens, surface et segment sont proches.

    -(2) annonce cependant que la continuité ne peut pas être au rendez-vous. Je n'ai pas de notions des structures, de topologie, etc ... mais quand même, selon moi, celà signifie donc bien que surface et intervalle (ici segment) sont "d'une nature différente", non ?

    Est-il alors pertinent de considérer que l'étude des propriétés des courbes de Peano, que ce soit leur injectivité presque partout sauf sur un ensemble dénombrable (courbe de Peano), leur capacité à remplir un espace d'aire strictement inférieure à 1 (courbe dOsgood) continûment ou bien leur différentiabilité sauf sur un ensemble de mesure nulle (courbe de Lebesgue, d'ailleurs apparemment utilisée en informatique), ..., permet de mieux comprendre certaines structures, similitudes et différences entre les ensembles de départ et d'arrivée, à savoir une partie bornée du plan et un segment ?

    Mon ADS est pour demain, mais je me demandais s'il était intéressant d'évoquer cette vision de la construction des courbes de Peano.

    Merci d'avoir lu ^^


    "... I am the master of my fate, I am the captain of my soul." Henley
     


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