Bonjour,
Je souhaite encadrer la valeur d'une somme discrete mettons celle ci pour fixer les idées :
à l'aide d'intégrales ou éventuellement autre chose si c'est possible.
J'ai lu brièvement que lorsque la série est croissante et converge, il est possible de l'encadrer à l'aide d'intégrales mais sans avoir réellement compris cette histoire d'indices qui varient aux bornes des intégrales d'encadrement.
Cordialement
Anthony
Salut,
Sur google en tapant comparaison somme-intégrale tu obtiens énormément de résultats.
Il s'agit surtout de faire un dessin et de constater que si f est croissante par exemple:
En suivant ton conseil cleanman, j'ai trouvé cet encadrement qui semble fonctionner :
En reprenant l'exemple du post #1 avec
***************
Plus la valeur de
Re,
Après relecture, je pense m'être lamentablement planté car :
1/ L'encadrement utilisé ne s'applique que pour des fonctions monotones décroissantes et non croissantes
2/ Les bornes des intégrales sont fausses.
Mais alors qu'elle est l'encadrement exact à utiliser pour encadrer la somme des n premiers entiers ?
En googlant sur comparaison somme/intégrale on trouve pas énormément de littérature et encore moins lorsqu'il s'agit d'encadrer des fonctions croissantes ???
Les maths étant une science exacte, il doit y avoir un encadrement exact concernant mon problème non ?
Cordialement
Anthony
C'était un essai sans intérêt pour cette série qui ne converge surement pas.
Vous devriez essayer avec 1/k et 1/k2, cela donnera un résultat plus facile à interpréter.
Comprendre c'est être capable de faire.
Merci phys4 pour votre réponse mais si je prends 1/k cela ne me donnera pas un encadrement de la somme des n premiers entiers Après essais je dois reconnaitre que l intégrale de k de 0 a n fournie une approximation pas trop mauvaise mais tout cela n est pas très propre mathématiquement et je vais finir par croire que mon problème est inextricable
Je ne pensais que vous vouliez absolument cette somme qui est parfaitement calculable :
il suffit alors d'encadrer par les intégrales de xdx de 0 à n d'une part et de 1 à n+1 d'autre part que cela donnera un encadrement bien symétrique.
Comprendre c'est être capable de faire.
Oui bon ok pour le coup c'est un peu ridicule car le resultat de ceci est bien connu. Mais cela pourrait être interressant de la meme maniere de savoir encadrer :Code:Je ne pensais que vous vouliez absolument cette somme qui est parfaitement calculable :
Ah voila d'ou tirez vous vos bornes ici ?Code:il suffit alors d'encadrer par les intégrales de xdx de 0 à n d'une part et de 1 à n+1 d'autre part que cela donnera un encadrement bien symétrique.
Je crois que c'est ça qui me rend dingue en fait.
Les règles sont très simples en fait :
1- L'intervalle (longueur) d'intégration doit être égal au nombre de termes donc: dans l'exemple 0 à n ou 1 à n+1 pour n termes.
2- Si le terme général f(n) est une fonction continue, il suffit de choisir l'intégrale telle que f(n) soit un majorant de la fonction sur un intervalle unité pour la première fonction, et un minorant pour la seconde.
Si la fonction est monotone, il suffit de prendre les intervalles au bord de la valeur, comme pour l'exemple donné.
Pour f(n) = n il était facile de voir que l'intégrale de n-1 à n minore la valeur n est l'intégrale de n à n+1 majore le terme, d'où la réponse triviale.
Pour la nouvelle fonction, j'examine les conditions, mais nous démarrons sur une difficulté, le terme n= 0 n'est pas défini ???
Comprendre c'est être capable de faire.
Suite du message,
Après examen de la dérivée, la fonction est monotone (toujours croissante)
Si l'on suppose que les bornes de la série sont k = 1 à k = n, alors vous pouvez prendre les mêmes limites que pour la série k.
L'intégrale à partir de 0 ne pose pas de problème, car la fonction, bien qu'infinie, est intégrable à la borne zéro.
Comprendre c'est être capable de faire.
Re,
Merci Phys4 pour toutes ces règles concernant l'encadrement d'une somme.
Je récapitule donc :
--------------------
A.N avec n=100 :
-----------------
Pour le coup la on obtient la valeur exacte de la somme des n premiers entiers en posant :
Mais en appliquant le même raisonnement, on peut écrire (étant donné que
A.N avec n=100 :
------------------
Et cette fois ci, on constate que :
Tout ceci me laisse perplexe mais bon je sais au moins encadrer une somme à présent
Dans la même veine, on peut essayer d'encadrer la somme des
L'encadrement serait alors le suivant :
---------------------------------------
----------------------
L'encadrement est correct mais une fois de plus ici, on constate que :
D’où la question existe t il une relation liant la somme aux intégrales :
----------------------------------------------------------------------
Et de façon général existe t il une relation entre somme et intégrales.
Exemple :
-----------
Je déduis la valeur exacte de
et
en appliquant une formule type :
Pas d'accord : il faut respecter la règle : largeur d'intégration égale au nombre de termes, donc c'est une somme de 1 à n qu'il faut faut prendre.Envoyé par anthony_unac
L'encadrement serait alors le suivant :
---------------------------------------
----------------------
L'encadrement est correct mais une fois de plus ici, on constate que :
D’où la question existe t il une relation liant la somme aux intégrales :
----------------------------------------------------------------------
Les deux cas précédents semblent corrects uniquement parce que le premier terme k = 0 est nul.
Le fait que la demi somme donne la série exacte est un cas particulier, si vous tracez la série représentée par des rectangles et la surface qui représente l'intégrale, vous verrez que pour la série f(k) = k, la différence est constituée de petits triangles de surface 1/2, l'erreur totale est donc n/2 de chaque coté.
Pour toute autre série non linéaire comme k2 , les surfaces d'erreur sont délimitées par des arcs de parabole et il n'y a pas de symétrie.
Comprendre c'est être capable de faire.
Ou est mon erreur au juste ?
Comme sont écrites les intégrales, les séries doivent commencer à k = 1, ce qui fera n termes pour la série,
la longueur des intervalles vaut n - 0 = n ou (n+1) - 1 = n ainsi égale au nombre de termes.
Avec des séries dont le terme f(0) ne serait pas nul, l'erreur serait évidente.
Comprendre c'est être capable de faire.
Merci pour la précision concernant les bornes de l'intégrale.
Je reprends donc à l'aide de deux exemples et je vais soulever lors du deuxième exemple un point qui cloche :
-----------
-----------
Je cherche à encadrer la somme des
L'encadrement serait alors le suivant :
---------------------------------------
----------------------
L'encadrement est correct et on constate que :
-----------
-----------
Je cherche à encadrer la somme des
L'encadrement serait alors le suivant :
---------------------------------------
----------------------
L'encadrement est correct et une fois de plus ici, on constate que :
---------------
---------------
Je cherche à encadrer la somme des
L'encadrement devient alors le suivant :
---------------------------------------
L'encadrement n'est plus correct cette fois ci !
Comment en arrive t on à cette erreur la ?
Cordialement
Anthony
Re,
Après réflexion, il me semble avoir trouvé mon erreur.
Ce qui cloche sur l'exemple 2 bis, ce sont les bornes d'intégration.
Je reprends :
---------------
---------------
Je cherche à encadrer la somme des
L'encadrement devient alors le suivant :
---------------------------------------
L'encadrement est alors correct !
De plus, on retrouve l'égalité :
Cordialement
Anthony
Finalement, toutes les séries de la forme
---------------------------------------
---------------------------------------
Ou je me trompe ?
Cordialement
Anthony
Bon dimanche, voir mes messages précédents : cet encadrement est correct si P(x) est une fonction monotone, sinon il faut s'assurer que les minorants et majorants de P(x) sur chaque longueur unité, encadrent P(k).Finalement, toutes les séries de la forme
---------------------------------------
---------------------------------------
Comprendre c'est être capable de faire.
Re, il me semble que l'encadrement ci dessous n'a de sens que si la fonction est
---------------------------------------
---------------------------------------
Je rajoute "*et*
C'est encadrement n'a pas de sens, non ?
Cordialement
Anthony
Bonjour,
Il n'est pas nécessaire de préciser le sens de variation, mais attention les signes < > de l'encadrement dépendent du sens, il faut les inverser pour une fonction décroissante.
Dans l'exemple donné, il y a une particularité, la première intégrale n'est pas définie pour la borne 0.
Il suffit de remplacer la définition de la fonction par la valeur 1 dans l'intervalle [0,1] pour que l'encadrement soit correct.
Nous pouvons aussi dire qu'il faut commencer la série à k = 2 et rajouter 1 pour avoir un encadrement correct.
Il est heureux que la relation soit indépendante du sens car ce type d'encadrement est souvent utilisé pour des démonstrations sur des séries convergentes, donc décroissantes.
Il n'est pas nécessaire que les fonctions soient strictement monotones.
Comprendre c'est être capable de faire.
Re,
Après lecture de vos conseils, il me semble avoir compris la manière dont on peut encadrer des fonctions décroissantes.
--------------------------------------
--------------------------------------
Il est possible alors d'encadrer la constante d'Apery
Question bonus : Etait il possible d'aboutir à un encadrement plus serré de
----------------
Cordialement
Anthony
Bonjour,
Pour améliorer l'encadrement, il existe une méthode évidente : prendre la valeur exacte des premiers termes et commencer les intégrales pour une valeur de k élevée.
Vous pouvez aussi modifier les bornes en tenant compte de la variation de la fonction.
Supposons que l'on estime le terme k par une intégrale de (k-1/2) à (k+1/2). cette intégrale donnera la valeur exacte pour une fonction à dérivée constante telle que x, car le trapèze représentant l'intégrale a pour moyenne la valeur milieu.
Si la dérivée est croissante, l'intégrale majore la série, et inversement.
Vous pouvez donc remplacer l'intégrale de 1 à n, à droite par une intégrale de 3/2 à n+1/2, cela donnera une valeur supérieure bien plus proche de la série.
Comprendre c'est être capable de faire.
Re,
Un grand merci pour tous ces nouveaux conseils.
Je vais essayer de les illustrer :
-------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------
Les deux premiers termes de la série étant respectivement
Il est possible alors d'encadrer la constante d'Apery
------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------
En modifiant les bornes de l'intégrale à droite de l'encadrement, il vient :
Il est possible alors d'encadrer la constante d'Apery
L'encadrement est correct la aussi (plus serré a droite qu'à gauche d’ailleurs) mais d’où tirez vous les valeurs des bornes de l'intégrale de droite. Je reste perplexe, j'ai du louper quelque chose.
Cordialement
Anthony
Dernière modification par anthony_unac ; 30/03/2012 à 16h55.
