Determiner les réels u et v d'un polynome

[thibistin]

Salut , je suis devant un exo qui est un peu compliqué mais pas difficile.

" soit n appartient a IN* .Determiner les réels u et v pour que le polynome P vX^(n+1)+uX^(n)+1 admette le nbre 1 comme racine double . Calculer alors le quotient de vX(n+1)+uX^(n) +1 par ( X-1)^2 "

bon pour que le 1 soit une racine double on doit faire P' et P'' et P''' et on doit avoir que P'(1)=P''(1) = 0 =/= P'''(1)
alors P' = v(n+1)X^(n) + u(n)X^(n-1) et si on remplace le X par 1 c'est P'= v(n+1) +u(n)=0
P''= v(n+1)nX^(n-1) + u(n)(n-1)X et si on remplace ..... c'est P'' =v(n+1)(n) +u(n)(n-1) =0

mais pour déterminer le u et v je sais pas comment faire , je voulais factoriser avec le n dans P'' ou bien faire système a 2 équations mais avec les n je me suis un peu perdu et j'ai tout mélangé
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[thibistin]

J'ai réussi a savoir les réels u et v , u=-2 et v = 1 mais pour la division je suis un peu bloqué :/

[gg0]

Bonsoir.

Ta condition pour une racine double n'est pas la bonne. Revois tes cours.

Une fois trouvées les bonnes valeurs, il est facile de factoriser par X-1, puis en s'appuyant sur la factorisation classique de a^p-b^p (déjà utilisée avant) de finir la factorisation. On peut aussi regarder pour les faibles valeurs de n, imaginer le résultat à trouver et le prouver par récurrence.

Cordialement.

[thibistin]

Merci pour ta réponse , oui j'ai commis une faute concernant la racine double , je l'ai corrigé et les bonnes valeurs sont u=-2 et v=1 .

pour la question du calcul du quotient , j'ai pas bien compris , tu veux que je factorise le X^(n+1)-2X^(n) + 1 ?? si c'est oui alors je dois remplacer le n par une valeur , par exemple si n=1 c'est ( X-1)^2 mais dans la question ils ont dit que je dois calculer le quotient de X^(n+1) -2X^(n)+1 par (X-1)^2

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

"si c'est oui alors je dois remplacer le n par une valeur" ???
Rien n'empêche de factoriser même s'il y a un n (*).

X^(n+1)-2X^(n) + 1 n'a pas 1 comme racine double. Elle est seulement simple.

Quelle est la condition pour que le polynôme P ait une racine double a ?

Pourquoi tes coefficients u et v ne dépendent pas de n, alors que P en dépend ?

Cordialement.

(*) Par exemple

On a bien factorisé !