[séries] Doutes

[Snowey]

Bonjour à tous,
aujourd'hui je m’entraîne sur des exos sur les séries entières, et voilà que sur deux exercices je ne réponds pas comme le corrigé. J'aimerais vraiment savoir si mes raisonnements sont justes ou pas !

1. On considère une suite de réels strictement positifs tels que ait un rayon de convergence de 1, on note f(z) sa somme lorsqu'elle existe.
Montrer que si diverge alors .

Mon raisonnement:
- f est croissante sur par positivité de la suite (an) et continue sur cet intervalle (son intervalle de convergence) donc elle admet une limite .
- Si celle-ci est réelle (donc pas l'infini), alors on peut prolonger f par continuité en 1 par . Mais alors , ce qui amène une contradiction avec l'hypothèse de la série divergente.


2. (principe des zéros isolés) Soit analytique, on suppose que f s'annule une infinité de fois sur , montrer qu'elle est identiquement nulle.

- f étant analytique, on l'écrit et on note .
- sur tout segment S inclus dans le domaine de définition et contenant , on a convergence uniforme de la série de fonctions vers f.
- or chaque est nulle puisque polynomiale et s'annulant une infinité de fois. Par convergence uniforme de cette suite de fonction vers f, on en conclut que f est nulle sur S.
- f est alors nulle sur chaque segment de l'intervalle de définition, donc est nulle sur l'intervalle ouvert.
Voilà mon raisonnement, j'ai peur qu'il soit faux vu la correction proposée qui utilise beaucoup plus d'outils (développement de Taylor, connexité de l'intervalle ouvert, ...)

Je vous remercie d'avance de corriger mes erreurs !
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[Snowey]

Personne pour m'aider ?

[gg0]

OK !

je vais essayer de t'aider, bien que n'étant pas spécialiste du domaine.

1) Qu'est-ce qui te permet de dire que ?
2) "or chaque est nulle puisque polynomiale et s'annulant une infinité de fois." ?? C'est la série complète qui s'annule, pas les sommes partielles.

Voilà, ce sont mes doutes sur ce que tu as écrit

Cordialement.

[Jedoniuor]

Bonjour,

Je suis d'accord avec les objections de gg0, j'en rajoute une autre pour la partie 2): Vous avez considéré que le développement en $0$ était valide sur tout l'intervalle, ce qui n'est pas le cas en général.

L'hypothèse "analytique" se traduit par: Pour tout il existe une série entière en les puissances de (x-y), de rayon de convergence non nul, qui représente f pour x assez proche de y:



les a_n dépendant de y.

Pour la partie 1) vous pouvez raisonner de la manière suivante (c'est seulement un schéma): Donnez vous un M quelconque. Puisque la série a_n est divergente, il existe un entier N tel que .

Pour tout , on a .

Utilisez la continuité de au point 1 pour dire qu'il existe tel que si , on a [tex] et concluez.

Pour le 2), j'ai bien peur qu'il n'existe pas de solution simple; je vais probablement retrouver votre corrigé:

a) Il existe une suite u_n d'éléments de tels que pour tout n, converge vers , et telle que pour tout n. (il faut utiliser la compacité de ).

b) On écrit le développement de f en série entière en (x-L), qui converge dans un intervalle ouvert contenant L:



S'il existe des coefficients non nuls, on note m l'indice le plus petit tel que

On a alors , où est une série entière qui converge dans un voisinage de L, et vérifie . On vérifie que g(u_n)=0 pour tout n, et donc , ce qui est absurde.

Par suite tous les a_n sont nuls, et f est nulle dans un voisinage de L.

c) On appelle E l'ensemble des points x de ]a,b[ tels que il existe un intervalle ouvert contenant x où f est nulle; E est non vide par b), E est clairement ouvert. Il reste à montrer que E est fermé (attention: dans ]a,b[) (m\^eme méthode que pour le b)), et une fois que c'est fait, la connexité de ]a,b[ donne que E=]a,b[.

Cordialement

[A voir en vidéo sur Futura]

[Snowey]

Merci beaucoup à vous deux !!
Au moins, je sais ou sont mes erreurs et je peux les corriger.
Pour le 1), voilà ce que je pensais: on a f qui est égale à la série entière sur son domaine de convergence, n'est ce pas ? En prolongeant (continûment) f en un point du cercle d'incertitude, on donne du sens à f(1). La question est donc de savoir si cela implique que la fonction vaut ENCORE la série entière en 1, et la réponse est non ? Il fait alors considérer que le prolongement continue ne préservé en rien un développement en série entière sur le bord, est-ce correct ?

Pour le 2), quelles erreurs !! En effet, mes arguments sont faux, faux et faux ! Merci de m'avoir corrigé !

[Jedoniuor]

Re bonjour,
Pour la question 1, c'est à partir de l'endroit ou vous avez écrit "si f admet une limite dans R" que cela dérape. Le fait que f ait une limite dans provient de la positivité de la suite . Ensuite, vous ne l'utilisez plus, cette positivité. Si vous regardez l'exemple de , vous avez un exemple de fonction qui se prolonge par continuité au point 1, mais telle la série a_n est divergente.

Cordialement.

[Snowey]

Merci beaucoup à vous, je comprends mieux mes erreurs