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Qu'est-ce qu'un nombre entier?

  1. Mika-El

    Date d'inscription
    décembre 2011
    Messages
    82

    Qu'est-ce qu'un nombre entier?

    nombre entier <=> ... ?

    Je parle en termes mathématiques bien sûr. Me dire qu'il n'y a pas de virgules serait rigolo.

    Il semblerait qu'un nombre entier ne vérifie jamais, si x, y et z sont des entiers :
    x^3 + y^3 = z^3
    De même, n'est pas vérifiée l'équation x^4 + y^4 = z^4
    Ni aucune puissance supérieure.

    Mais est-ce que le fait que ces équations ne sont pas vérifiées suffit à certifier qu'on a affaire à des nombres entiers?

    -----

     


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  2. Médiat

    Date d'inscription
    août 2006
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    68
    Messages
    17 357

    Re : Qu'est-ce qu'un nombre entier?

    Nombre entier : Elément d'un modèle d'une théorie arithmétique (il y a plusieurs candidats à cette appellation très générique), par exemple l'Arithmétique de Peano.

    Mais est-ce que le fait que ces équations ne sont pas vérifiées suffit à certifier qu'on a affaire à des nombres entiers?
    Même en ajoutant quelques informations (parce telle quelle, votre affirmation n'a pas beaucoup de sens), la réponse est non, par exemple, il n'existe pas de rationnel vérifiant votre équation.
    Dernière modification par Médiat ; 21/02/2013 à 11h05.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
     

  3. Mika-El

    Date d'inscription
    décembre 2011
    Messages
    82

    Re : Qu'est-ce qu'un nombre entier?

    Vous n'avez pas complètement répondu à ma question.


    x entier, y entier, z entier <=> ...
    Dernière modification par Mika-El ; 21/02/2013 à 11h32.
     

  4. Médiat

    Date d'inscription
    août 2006
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    17 357

    Re : Qu'est-ce qu'un nombre entier?

    Citation Envoyé par Mika-El Voir le message
    ???
    bien sûr que si il y a un rationnel qui vérifie ces équations mais ce ne sont pas des entiers
    exemple : x^4+x^4=z^4 -> vérifié par x=1 y=1 et z=
    Ah bon, serait un rationnel ?

    Je précise : il n'existe pas de rationnels non nuls, vérifiant votre équation.
    Dernière modification par Médiat ; 21/02/2013 à 11h34.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
     

  5. Mika-El

    Date d'inscription
    décembre 2011
    Messages
    82

    Re : Qu'est-ce qu'un nombre entier?

    Non, désolé, je confonds avec les réels!!



    J'ai pas eu le temps de éditer que vous aviez déjà répondu ^^

    Mais quand même, j'aimerais bien savoir si il est possible de résoudre
    x entier <=> ...

    Ou sinon de savoir pourquoi ce n'est pas résolvable
    Dernière modification par Mika-El ; 21/02/2013 à 11h38.
     


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  6. Deedee81

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    30 241

    Re : Qu'est-ce qu'un nombre entier?

    Salut,

    Citation Envoyé par Mika-El Voir le message
    x entier <=> ...
    Il y a une infinité de solutions à cette équation.
    Tout est relatif, et cela seul est absolu. (Auguste Comte)
     

  7. Mika-El

    Date d'inscription
    décembre 2011
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    82

    Re : Qu'est-ce qu'un nombre entier?

    x réel <=>

    x ≠ 0.000...01
    x ≠ 0.000...02
    x ≠ 0.000...03
    x ≠ 0.000...04
    x ≠ 0.000...05
    ...
    ...
    ...
    x ≠ 9999999...99.9999...99

    Mais ce serait quand même sympa si on était capable de simplifier tout ça.

    Cordialement
     

  8. Mika-El

    Date d'inscription
    décembre 2011
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    82

    Re : Qu'est-ce qu'un nombre entier?

    Oups
    Rien désolé

    Okay, il y a une infinité de solutions.
    Mais y en a t il une assez simple et facile?
    Dernière modification par Mika-El ; 21/02/2013 à 11h51.
     

  9. Seirios

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    Re : Qu'est-ce qu'un nombre entier?

    Bonjour,

    Il serait bon de préciser d'où l'on part ; considère-t-on le corps des réels comme donné ? Si c'est le cas, alors on peut définir l'ensemble des entiers (naturels) comme l'ensemble des sommes 1+...+1 et de 0 (sachant que 0 et 1 sont bien définis dans indépendamment de en tant que corps).
    Dernière modification par Seirios ; 21/02/2013 à 11h55.
    If your method does not solve the problem, change the problem.
     

  10. Médiat

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    Re : Qu'est-ce qu'un nombre entier?

    Et il ne faut pas espérer quelque chose de plus simple car les entiers ne sont pas définissables au premier ordre dans IR.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
     

  11. Seirios

    Date d'inscription
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    Re : Qu'est-ce qu'un nombre entier?

    Si tu cherches absolument une équation, tu as si, et seulement si, avec la partie entière, mais c'est plutôt une tautologie...
    If your method does not solve the problem, change the problem.
     

  12. Seirios

    Date d'inscription
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    Re : Qu'est-ce qu'un nombre entier?

    Sinon, on peut également dire que ssi (dans les deux cas, cela ne fournit pas une définition de (en tant que sous-ensemble de ) puisque les fonctions utilisées sont définies en utilisant des entiers).
    If your method does not solve the problem, change the problem.
     

  13. Mika-El

    Date d'inscription
    décembre 2011
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    82

    Re : Qu'est-ce qu'un nombre entier?

    Okay, merci beaucoup alors, à mes modérateurs préférés et à Seirius!!
    Vous avez raison, je cherchais une solution à x entier <=> ... ?
    Je cherchais une réponse dans le goût du théorème de Fermat complété avec quelque chose d'autre pour obtenir une réciproque.

    Mais finalement, vous avez raison, ça ne sert pas à grand chose.


    Du coup, les chercheurs en maths, il ne doit pas leur rester grand chose à chercher et à trouver.

    Sûrement que les prochaines avancées en maths déborderont dans la physique... ?
    Par exemple en calculant les trajectoires d'un électron autour d'un proton etc... comme a commencé à le faire notre bien aimé Prix Nobel de physique 2012 (le français )

    Bref, merci
     

  14. Médiat

    Date d'inscription
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    Re : Qu'est-ce qu'un nombre entier?

    Citation Envoyé par Mika-El Voir le message
    Du coup, les chercheurs en maths, il ne doit pas leur rester grand chose à chercher et à trouver.
    Grace au premier théorème d'incomplétude de Gödel, nous savons, au contraire, qu'il y aura toujours quelque chose à chercher.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
     

  15. Mika-El

    Date d'inscription
    décembre 2011
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    82

    Re : Qu'est-ce qu'un nombre entier?

    Je ne le comprends pas trop ce premier théorème de Godel.
    Quelque chose qui ne peut être ni prouvé ni réfuté? ?
    Bah évidemment.
    C'est d'ailleurs pour ça que les maths ne sont pas la seule science et qu'il existe aussi la physique.

    Les maths c'est juste un outil qu'on utilise dans l'abstrait.

    Mais on sait tous que dans le concret ça ne fonctionne pas.

    exemple : 1+1 = ?
    -> réponse : 2

    1enzyme + 1 substrat = ?
    -> réponse : 1complexe enzyme/substrat
     

  16. Médiat

    Date d'inscription
    août 2006
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    17 357

    Re : Qu'est-ce qu'un nombre entier?

    Citation Envoyé par Mika-El Voir le message
    Les maths c'est juste un outil qu'on utilise dans l'abstrait.

    Mais on sait tous que dans le concret ça ne fonctionne pas.
    Difficile de taper une phrase pareil sur le clavier d'un ordinateur et ne pas paraître totalement incohérent.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
     

  17. Tryss

    Date d'inscription
    janvier 2010
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    3 921

    Re : Qu'est-ce qu'un nombre entier?

    Citation Envoyé par Seirios Voir le message
    Sinon, on peut également dire que ssi (dans les deux cas, cela ne fournit pas une définition de (en tant que sous-ensemble de ) puisque les fonctions utilisées sont définies en utilisant des entiers).
    Tu peux la définir sans utiliser les entiers, par exemple comme solution d'une équation différentielle.

    Par exemple, soit f la solution de avec f(0) = 0 et f'(0) = 1

    Alors

    Et il me semble que l'on peut définir tout ça sans faire appel aux entiers. Par contre, je doute que ce soit une approche très fructueuse
     

  18. Mika-El

    Date d'inscription
    décembre 2011
    Messages
    82

    Re : Qu'est-ce qu'un nombre entier?

    Citation Envoyé par Tryss Voir le message
    Tu peux la définir sans utiliser les entiers, par exemple comme solution d'une équation différentielle.

    Par exemple, soit f la solution de avec f(0) = 0 et f'(0) = 1

    Alors

    Et il me semble que l'on peut définir tout ça sans faire appel aux entiers. Par contre, je doute que ce soit une approche très fructueuse
    La solution de f comporte tous les nombres réels? ... sauf les entiers? :O
    C'est cool si c'est vrai, merci
     

  19. Mika-El

    Date d'inscription
    décembre 2011
    Messages
    82

    Re : Qu'est-ce qu'un nombre entier?

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Difficile de taper une phrase pareil sur le clavier d'un ordinateur et ne pas paraître totalement incohérent.
    J'ai une bille.
    Mon copain me donne une autre bille.

    Résultat : j'ai 2billes.

    C'est pour toi la preuve que les maths fonctionnent toujours? ???

    Ca ne veut rien dire une bille dans le concret.
    Absolument aucune bille est parfaitement sphérique.
    On simplifie et on part dans l'abstrait mais en vérité mes 2billes sont ébréchées.

    Combien mesures-tu?
    1m80 ou 1,80124675354... mètres?
    Dernière modification par Mika-El ; 21/02/2013 à 12h53.
     

  20. toothpick-charlie

    Date d'inscription
    juillet 2012
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    2 678

    Re : Qu'est-ce qu'un nombre entier?

    Citation Envoyé par Tryss Voir le message
    Tu peux la définir sans utiliser les entiers, par exemple comme solution d'une équation différentielle.

    Par exemple, soit f la solution de avec f(0) = 0 et f'(0) = 1

    Alors

    Et il me semble que l'on peut définir tout ça sans faire appel aux entiers. Par contre, je doute que ce soit une approche très fructueuse
    est-ce que ce n'est pas circulaire cette définition? comment définit-on pi, si ce n'est par sin(pi)=0 ou quelque-chose d'approchant?
     

  21. Médiat

    Date d'inscription
    août 2006
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    17 357

    Re : Qu'est-ce qu'un nombre entier?

    J'ai essayé de planter un clou de charpentier avec un tournevis d'horloger, et je n'ai pas réussi, conclusion : les tournevis d'horloger ne fonctionne pas !

    Essayer de faire croire que les mathématiques ne fonctionnent en tapant sur un claiver d'ordinateur est totalement incohérent ! Pensez-vous vraiment qu'à aucun moment dans la conception/réalisation d'un ordinateur les mathématiques ne sont utilisées ?

    Quant à justifier la phrase
    Mais on sait tous que dans le concret ça ne fonctionne pas.
    Qui d'ailleurs commence par un artifice rhétorique (en gras) sans aucune valeur démonstrative, en donnant des exemples que les objets mathématiques n'existent pas dans la nature est un autre artifice rhétorique, qui vous fait tomber dans le sophisme.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
     

  22. Mika-El

    Date d'inscription
    décembre 2011
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    82

    Re : Qu'est-ce qu'un nombre entier?

    Les mathématiques ne fonctionnent pas.
    Quand je dis ça, qu'est-ce que j'essaie de dire?

    J'essaie juste de dire que les systèmes qu'on étudie en pratique (que ce soient des billes ou autre) sont tous d'une complexité qui nous dépasse largement.
    Nous ne sommes pas capables d'observer les trucs trop petits
    -> toutes nos connaissances en physique ou chimie sont toujours données avec une marge d'erreur.

    Les maths, par contre, c'est différent.
    Les maths, on invente des systèmes qui ressemblent à la réalité.

    Mais la réalité on s'en fout en maths.
    On cherche juste à résoudre les systèmes que l'on crée qui lui ressemblent.


    On utilise les maths pour créer les ordinateurs, certes.
    Mais si on n'utilisait que les maths, aucun ordinateur ne fonctionnerait.

    La physique c'est le petit truc qui dit "et si on ajoutait un ventilateur sur cet ordinateur?"


    Il faudrait connaître l'unité fondamentale de l'univers pour mélanger maths et physique.
    Grâce à cela, les maths ne négligeraient rien : ni poussière, ni rien.


    Je veux juste dire qu'aujourd'hui, on a fait beaucoup de recherches en maths et qu'on sait à peu près tout faire : la seule limite c'est la longueur du problème et le temps qu'il faut pour résoudre (ex: le jeu de dames).
    Les maths, on s'en sert : grâce aux maths, on a pu calculer que l'univers a 11 dimensions (théorie M).


    Puisqu'on est censé être archi bon en maths, pourquoi ne sommes nous pas capables de prédire le futur?
    Le problème n'est pas qu'on ne sait pas résoudre, le problème c'est qu'on ne connaît pas l'énoncé.
    On a des microscopes avec une précision trop faible, etc...

    Bien évidemment entre en jeu la taille du problème (et la durée pour le résoudre).
    Dernière modification par Mika-El ; 21/02/2013 à 13h33.
     

  23. Tryss

    Date d'inscription
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    Re : Qu'est-ce qu'un nombre entier?

    Citation Envoyé par toothpick-charlie Voir le message
    est-ce que ce n'est pas circulaire cette définition? comment définit-on pi, si ce n'est par sin(pi)=0 ou quelque-chose d'approchant?
    Par exemple, toujours avec les EDO :

    g'(x) = 1/(1+x²) avec g(0) = 0 et alors pi = 4*g(1) (ou 4 est la notation pour 1+1+1+1)


    Enfin tout ça suppose d'avoir quelque part les ordinaux et les cardinaux, pour avoir existence et unicité de ces fonctions (Th de Cauchy-Lipschitz et tout ses prérequis).

    Et en plus, on ne sait pas grand chose sur le truc qu'on a ainsi défini (ou du moins, il faut travailler)



    Je veux juste dire qu'aujourd'hui, on a fait beaucoup de recherches en maths et qu'on sait à peu près tout faire : la seule limite c'est la longueur du problème et le temps qu'il faut pour résoudre (ex: le jeu de dames).
    Au contraire, il y a BEAUCOUP de choses que l'on ne sait pas faire, même sur des problèmes "simples"
    Dernière modification par Tryss ; 21/02/2013 à 13h30.
     

  24. Seirios

    Date d'inscription
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    Re : Qu'est-ce qu'un nombre entier?

    Citation Envoyé par Tryss Voir le message
    Tu peux la définir sans utiliser les entiers, par exemple comme solution d'une équation différentielle.

    Par exemple, soit f la solution de avec f(0) = 0 et f'(0) = 1

    Alors

    Et il me semble que l'on peut définir tout ça sans faire appel aux entiers. Par contre, je doute que ce soit une approche très fructueuse
    Cela me fait remarquer que j'ai écrit au lieu de dans mon message #12 ; un modérateur pourrait-il corriger cette erreur ?
    If your method does not solve the problem, change the problem.
     

  25. Mika-El

    Date d'inscription
    décembre 2011
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    Re : Qu'est-ce qu'un nombre entier?

    Citation Envoyé par Tryss Voir le message
    Au contraire, il y a BEAUCOUP de choses que l'on ne sait pas faire, même sur des problèmes "simples"
    Quoi donc? ???
    Les dames? Les échecs?
    Bien sûr, mais en fait on sait les résoudre mais on ne les as pas encore résolus, c'est tout.
    Il suffit de prendre les 2rois +1pion et de voir quelles positions sont gagnantes ou perdantes.
    Puis, en s'aidant des données, on rajoute un deuxième pion, ...
    Puis un troisième pion
    ...

    On fait toutes les possibilités et finalement on saura quelle position est gagnante ou perdante.
    Cela prend des plombes, bien sûr.
     

  26. Seirios

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    Re : Qu'est-ce qu'un nombre entier?

    Citation Envoyé par Mika-El Voir le message
    Les mathématiques ne fonctionnent pas.
    Mais ce n'est pas un problème des mathématiques, seulement des modélisations. Au final, les mathématiques n'ont rien à voir avec les problèmes évoqués.
    If your method does not solve the problem, change the problem.
     

  27. Seirios

    Date d'inscription
    mai 2005
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    10 446

    Re : Qu'est-ce qu'un nombre entier?

    Citation Envoyé par Mika-El Voir le message
    Quoi donc? ???
    Les dames? Les échecs?
    C'est une vision plutôt restrictive des mathématiques... Un exemple de problème actuel est la résolution des équations différentielles.
    If your method does not solve the problem, change the problem.
     

  28. Mika-El

    Date d'inscription
    décembre 2011
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    82

    Re : Qu'est-ce qu'un nombre entier?

    Citation Envoyé par Mika-El Voir le message
    Les mathématiques ne fonctionnent pas.
    Quand je dis ça, qu'est-ce que j'essaie de dire?

    J'essaie juste de dire que les systèmes qu'on étudie en pratique (que ce soient des billes ou autre) sont tous d'une complexité qui nous dépasse largement.
    Try again
     

  29. invite76543456789
    Invité

    Re : Qu'est-ce qu'un nombre entier?

    Citation Envoyé par Mika-El Voir le message
    Quoi donc? ???
    Quels sont les nombres entiers qui sont les aires des triangles rectangles à coté rationnels?
    Combien de couleurs faut il au minimum pour colorier le plan de telle sorte que tous couple de points à distance 1, l'un de l'autre soit de couleur differente?
    Est ce que tout nombre pair supérieur à 2 est la somme de deux nombres premiers?

    Y a des tonnes de questions d'apprence elementaires ouvertes (et je parle pas des questions sophistiquées).
     

  30. toothpick-charlie

    Date d'inscription
    juillet 2012
    Messages
    2 678

    Re : Qu'est-ce qu'un nombre entier?

    tiens je ne connaissais pas le problème des couleurs.... est-ce que ça ne marche pas avec 4 couleurs? en dessinant un damier dont le carré a un côté <sqrt(2) et > 1/2, et en colorant 4 carrés formant un grand carré avec les 4 couleurs. Si j'ai raison, la question est : est-ce que c'est possible avec 3 couleurs? c'est bien ça?
     


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