Questions de topologie

[dalfred]

Vous dites que le mot "ouverte" dans la definition n'a pas d'importance ?
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[Seirios]

Tout à fait, tu peux montrer que les définitions en remplaçant "boule ouverte" par "boule fermée" ou simplement par "boule" sont équivalentes. Comme je l'ai dit dans mon message précédent, cela vient du fait que l'on peut toujours trouver inclure une boule fermée (resp. ouverte) dans une boule ouverte (resp. fermée) en gardant le même centre.

[Tryss]

Oui, si il existe une boule ouverte de centre x et de rayon epsilon inclue dans un ensemble, alors la boule fermée de centre x et de rayon epsilon/2 est aussi inclue dans l'ensemble.

De même, si il existe une boule fermée de centre x et de rayon epsilon inclue dans un ensemble, alors la boule ouverte de centre x et de rayon epsilon est aussi inclue dans l'ensemble

[gg0]

Quoiqu'un inclu implique que la boule doit etre ouverte

Cette phrase bizarre est sans doute l'indice d'une incompréhension de plus.

peux-tu expliquer ce que tu voulais dire au message #30 ?

Cordialement.

[taladris]

Soit où espace métrique. ouvert de ssi tout point de est centre d'une boule ouverte contenue dans

Precision:

Soit où espace métrique. ouvert de ssi tout point de est centre d'une boule de rayon >0 contenue dans

Un point est une boule fermee de rayon 0.

PS: Certains cours ne definissent les boules ouvertes/fermees que pour des rayons >0 (le cas du rayon nul ayant peu d'interet). Si c'est le cas de ton cours, ne tiens pas compte de mon message.

[dalfred]

gg0, ne retenons pas mon message 30 (trop de hate)

Par contre j'ai un soucis dans un exercice qui me demande de montrer une egalite de deux manieres, la premiere maniere c'est bon mais la deuxieme je ne sais pas:

Montrer que l'adherence de A union B=l'adherence de A union l'adherence de B

Pour la deuxieme maniere je dois appliquer : interieur de A intersection B=interieur de A intersection interieur de B à complementaire de A et de B

( je ne sais pas faire tous ces symboles en Latex, interieur,...)

[toothpick-charlie]

je t'indique le début de la preuve du premier point. Je note fA l'adhérence d'un ensemble A (moi aussi j'ai la flemme de taper du TeX).

On veut montrer que f(AuB) est inclus dans fAufB. soit x un point de f(AuB). On doit montrer que x appartient à fAufB. Supposons que x n'appartienne pas à fA et montrons que x appartient à fB (on fait toujours comme ça pour montrer l'appartemance à une réunion).

D'après la définition de l'adhérence, on doit montrer que x appartient à tout fermé contenant B. Soit donc C un fermé contenant B. On pose D=fAuC. D est fermé car réunion de 2 fermés, et D contient AuB car il contient A (qui est inclus dans fA) et B qui est inclus dans C.

je te laisse terminer. Et montrer la réciproque, dans le même esprit.

[dalfred]

Celle la je l'avais fait, c'est celle avec les complementaires qui me pose problemes

[toothpick-charlie]

ah j'avais pas compris. Qu'est-ce qui te pose problème avec le passage au complémentaire? c'est la même démonstration où tu changes les unions en intersections, les "est inclus" en "contient" les "fermé" en "ouvert".

[dalfred]

mais moi je dois appliquer l'egalité que j'ai donné (utilisant les interieurs) au complementaire de A et de B donc c'est different

[gg0]

Non,

c'est exactement ce que te dit Toothpick-charlie. En supposant bien sûr, que tu connais la définition de l'adhérence comme complémentaire de l'intérieur du complémentaire.

Cordialement.

[dalfred]

Je sais juste que le complementaire de l adherence de A est égal a l interieur du complementaire de A

[dalfred]

mais bon c'est pas la definition, je connais la definition de l adherence, de l interieur, d'un complementaire, mais y en a pas une precise de ce que vous dites

[gg0]

Alors il te reste à le prouver. Ce qui est assez simple. Avec ta définition de l'adhérence.
Car c'est l'idée qui est derrière ce qu'on te propose.

[dalfred]

mais je sais le prouver sauf qu'apres pour passer des complementaires à l'egalité demandée ca me pose probleme

[dalfred]

Suivons l'énoncé, si je fais ce qu'il dit, j'applique au complementaire de A et de B l'égalité donnée, soit (désolé mais est il possible de faire tous ces symboles en Tex ?) :

J'ai: intérieur de ( inter )=intérieur de ( ) inter intérieur de ()

Deja est ce que je me trompe ?

[gg0]

Soit tu as appliqué une règle de ton cours, et c'est juste, soit tu l'as écrit sans savoir et il te faut le prouver. Il n'y a pas d'opinion, en maths, seulement l'application stricte des règles (elles-même prouvées).

[dalfred]

Je l'ai prouvé comme dit precedemment, est ce bon ce que j'ai dit dans mon message precedent

[indian58]

Je l'ai prouvé comme dit precedemment, est ce bon ce que j'ai dit dans mon message precedent

Quelle est ta démonstration?

[dalfred]

Pour complémentaire de l'adherence de A= interieur de ou interieur de ( A inter B)=interieur de A inter interieur de B ?

[gg0]

Moi, je renonce. Je ne comprends rien à ces bouts de phrases.

[ilelogique]

En tout point d'un ouvert on peut centrer une boule qui n'est pas incluse dans l'ouvert.

[Seirios]

En tout point d'un ouvert on peut centrer une boule qui n'est pas incluse dans l'ouvert.

Ce n'est pas nécessairement vrai, il suffit de prendre l'espace tout entier comme contre-exemple ; d'un autre côté, je ne vois pas le lien avec la discussion...

[ilelogique]

Oui, exact, désolé pour ces deux bévues.

[dalfred]

Quelqu'un peut il me donner la definition d'inclus, j'ai un doute.
En gros est ce qu'on peut dire que si A inclus dans un B alors A est strictement inférieur à B (ce que je ne crois)
Pour moi ca veut plutot dire que c'est soit inférieur soit égal (juste un oubli)

[Seirios]

Comment définis-tu un ensemble inférieur à un autre ? On dit simplement que si pour tout , .