Questions de topologie

[dalfred]

Bonjour, je n'ai pas compris les choses suivantes qui sont importantes :

-En soit je sais ce qu'est un ouvert, mais la définition donnée dans mon cours je ne la comprends pas :

Soit où espace métrique. ouvert de ssi tout point de est centre d'une boule ouverte contenue dans .

Pour moi ca serait plutot, est un ouvert ssi il existe au moins un point de qui est centre d'une boule qui n'est pas contenue dans

-Autre chose, pourquoi ( désignant complémentaire)

Exemple:


avec

On a

or et donc

Gracias de prendre le tiempo de m'expliquer, hasta....
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[Tryss]

Point 1) La définition "pour toi" d'un ouvert est fausse

Point 2) Il manque un complémentaire :




Et si un point est dans le complémentaire de l'union des Ai, cela veut dire qu'il n'est dans aucun des Ai, donc dans l'intersections de leurs complémentaires.

[dalfred]

D'accord mais pouvez vous m'expliquer la definition de mon cours dans ce cas

[invite76543456789]

Bonjour,
Y a pas a expliquer une définition, elle est ce qu'elle est.
On peut eventuellement la motiver. Ici cette définition d'ouvert est une bonne définition parce qu'avec cette déf, l'image réciproque d'un ouvert par une fonction continue entre espace métrique est ouverte, ce qui est ce qu'on attend d'un ouvert.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Bonsoir Dalfred.

Ce que tu donnais comme définition est exactement la définition habituelle de "non-ouvert" ! Prends un intervalle ouvert de . Les "boules ouvertes sont les intervalles ouverts, la boule de centre a de rayon r est ]a-r;a+r[. Vois-tu un point b de ]a-r;a+r[ pour lequel on ne peut pas trouver une boule de centre b qui ne soit pas contenue dans ]a-r;a+r[ ? Non, bien entendu. Cela manifeste que pour tout point de ]a-r;a+r[, il y a des points de ]a-r;a+r[ de part et d'autre, et même tout un intervalle ouvert. C'est ça l'idée d'ouvert : aussi près du bord soit-on, "il en reste encore".

Plus tard, en topologie générale, tu verras une définition plus large, plus générale, qui "oublie" cette idée, en conservant les propriétés utiles.

Cordialement.

[dalfred]

Désolé mais là je comprends pas "Cela manifeste que pour tout point de ]a-r;a+r[, il y a des points de ]a-r;a+r[ de part et d'autre, et même tout un intervalle ouvert"

[gg0]

Fais un dessin,

c'est une évidence, compréhensible par un collégien.

[albanxiii]

Bonjour,

Parole de physicien : on comprend pas mal de choses en topologie, au moins quand on débute, en faisant des petits dessins.
Il ne faut pas s'y fier à 100 % et cela ne remplace pas une démonstration, mais ça permet de développer l'intuition.

@+

[dalfred]

Malgré tout ca, j'ai toujours l'impression que la définition de mon cours n'a pas de rapport avec le fait qu'un ouvert peut etre représenté par une boule qui ne contient aucun point de sa frontière

[dalfred]

Et gg0 pouvez-vous me dire en quoi ce que j'ai dit est la définition d'un "non-ouvert"

[Seirios]

Malgré tout ca, j'ai toujours l'impression que la définition de mon cours n'a pas de rapport avec le fait qu'un ouvert peut etre représenté par une boule qui ne contient aucun point de sa frontière

Ce n'est pas l'idée qu'il y a derrière un ensemble ouvert. Un ensemble est ouvert si autour de tout point il existe une petite boule incluse dans cet ensemble.

Et gg0 pouvez-vous me dire en quoi ce que j'ai dit est la définition d'un "non-ouvert"

Je pense que gg0 a lu un peu vite "ta" définition, il ne s'agit pas exactement de la négation d'être un ouvert.

Mais la définition que tu donnes n'a pas grand intérêt : prends n'importe quel ensemble qui ne soit pas l'espace tout entier, alors pour n'importe quel point de cet ensemble tu pourras trouver une boule qui n'y est pas incluse (il suffit de prendre le rayon suffisamment grand pour englober un point qui n'est pas dans l'ensemble).

[dalfred]

Mais pour un fermé aussi on peut avoir une boule incluse dans l'ensemble pour tous les points(hormis les points à la frontière)
Et pour un ouvert c'est la meme chose, on peut avoir une boule incluse dans l'ensemble pour tous les points (hormis quelques-uns)

Exemple: Prenons [1;2] : tous les points de cet intervalle sauf 1 et 2 peuvent etre representés comme étant centre d'une boule d'un rayon sup à 0
Prenons ]1;2[ : tous les points de cet intervalle sauf , , ,et (avec epsilon aussi proche de 0 que possible) peuvent etre représentés comme étant centre d'une boule d'un rayon sup à 0

Conclusion: Tous les points d'un ensemble ouvert ne sont pas centre d'une boule incluse dans cet ensemble.
De meme tous les points d'un ensemble fermé ne sont pas centre d'une boule incluse dans cet ensemble.
La définition du cours que j'ai donnée n'est pas valable pour les ouverts, et les fermés.

[Seirios]

Sauf que [1,2] n'est pas un ouvert, justement par qu'il n'existe pas de boule centrée en 1 ou 2 contenue dans [1,2]. Par contre, ]1,2[ est ouvert, on dit que c'est l'intérieur de [1,2] (le plus grand ouvert contenu dans [1,2]). Par contre, [1,2] est fermé.

[taladris]

Et pour un ouvert c'est la meme chose, on doit avoir une boule incluse dans l'ensemble pour tous les points (hormis quelques-uns)

C'est une condition necessaire.

Mais pour un fermé aussi on peut avoir une boule incluse dans l'ensemble pour tous les points(hormis les points à la frontière)

C'est possible. Certains fermes sont aussi ouverts. C'est un point important: ferme n'est pas le contraire d'ouvert. Un ensemble peut etre ouvert et ferme, ou ni ouvert ni ferme.

Exemple: Prenons [1;2] : tous les points de cet intervalle sauf 1 et 2 peuvent etre representés comme étant centre d'une boule d'un rayon sup à 0
Prenons ]1;2[ : tous les points de cet intervalle sauf , , ,et (avec epsilon aussi proche de 0 que possible) peuvent etre représentés comme étant centre d'une boule d'un rayon sup à 0

1 et 2 ne sont pas dans l'intervalle ]1,2[. Si , alors est le centre de la boule de centre et de rayon (pour "pas trop grand").

Conclusion: Tous les points d'un ensemble ouvert ne sont pas centre d'une boule incluse dans cet ensemble.
De meme tous les points d'un ensemble fermé ne sont pas centre d'une boule incluse dans cet ensemble.
La définition du cours que j'ai donnée n'est pas valable pour les ouverts, et les fermés.

Si c'est la definition d'un ouvert, alors elle est valable pour les ouverts. C'est le principe d'une definition. Que tu ne la comprennes pas est un autre probleme (qu'on peut t'aider a resoudre...).

[dalfred]

Pour revenir sur ce qu'a dit Serios :

Je suis d'accord que [1;2] n'est pas un ouvert car il n'existe pas de boule centrée en 1 et 2 qui soit contenue dans [1;2], mais j'en reviens au même, il n'existe pas non plus de boule centrée en 1 et 2 qui soit contenue dans ]1;2[ (donc on serait tenté de dire la meme chose, ]1;2[ n'est pas un ouvert, sauf que c'est faux mais bon...)

[Seirios]

Taladris t'a répondu : 1 et 2 ne sont pas des points de ]1,2[, donc si tu lis bien la définition d'un ouvert, tu n'as pas besoin de les considérer.

[Tryss]

Pour revenir sur ce qu'a dit Serios :

Je suis d'accord que [1;2] n'est pas un ouvert car il n'existe pas de boule centrée en 1 et 2 qui soit contenue dans [1;2], mais j'en reviens au même, il n'existe pas non plus de boule centrée en 1 et 2 qui soit contenue dans ]1;2[ (donc on serait tenté de dire la meme chose, ]1;2[ n'est pas un ouvert, sauf que c'est faux mais bon...)

Sauf que 1 et 2 n'appartiennent pas à E= ]1,2[ : il n'y a donc aucune raison pour laquelle il devrait exister une boule centrée en 1 qui soit incluse dans E

[dalfred]

Ok c'est compris, merci

[dalfred]

Je voulais savoir si c'est vrai:
Tous les points d'un ensemble ouvert sont voisinages de cet ensemble.

[dalfred]

Si c'est vrai ca pourrait etre une definition d'un ouvert

[dalfred]

En fait je me suis trompé dans ma phrase

[Tryss]

Comment défini tu un voisinage?

[dalfred]

ca serait plutot : tout ouvert est voisinage de tous ces éléments contrairement à un fermé

[Seirios]

La première partie de ta phrase est correcte, mais comme il a déjà été dit avant, être fermé n'est pas le contraire d'être ouvert, il y a des ensembles qui sont à la fois ouverts et fermés (ou ni ouverts ni fermés).

[dalfred]

Cependant il est vrai qu'un fermé n'est pas un voisinage de tous ses éléments

[Seirios]

Si c'est vrai ca pourrait etre une definition d'un ouvert

Le problème, c'est que la notion de voisinage se définit à partir de la notion d'ouvert... Il y a tout de même une manière de mettre la notion de voisinage au premier plan : si à tout point d'un ensemble tu associes un filtre , alors (modulo une petite condition technique supplémentaire) tu peux définir une topologie sur de telle sorte qu'une partie est ouverte ssi pour tout , il existe tel que ; dans ce cas, les filtres des voisinages sont exactement les éléments des . Nous en avons un peu discuté ici.

Maintenant, je ne vois pas pourquoi tu voudrais une définition alternative des ouverts, la définition usuelle est suffisamment simple.

[dalfred]

D'ailleurs si Serios me dit que la premiere partie de ma phrase est vraie ca veut dire que je peux transformer la definition que j'ai donnée :

Soit où espace métrique. ouvert de ssi tout point de est centre d'une boule ouverte contenue dans

en

Soit où espace métrique. ouvert de ssi tout point de est centre d'une boule contenue dans

puisque je viens de voir que la définition d'un voisinage est la suivante :

On appelle voisinage d'un élément a de E toute partie V de E vérifiant
∃ alpha >0, B(a,alpha)⊂ V

[Seirios]

Cependant il est vrai qu'un fermé n'est pas un voisinage de tous ses éléments

Non : dans , est fermé et ouvert, donc c'est un voisinage de tous ses éléments. Plus généralement, n'importe quel ensemble à la fois ouvert et fermé est un voisinage de tous ses éléments.

[Seirios]

D'ailleurs si Serios me dit que la premiere partie de ma phrase est vraie ca veut dire que je peux transformer la definition que j'ai donnée :

Soit où espace métrique. ouvert de ssi tout point de est centre d'une boule ouverte contenue dans

en

Soit où espace métrique. ouvert de ssi tout point de est centre d'une boule contenue dans

puisque je viens de voir que la définition d'un voisinage est la suivante :

On appelle voisinage d'un élément a de E toute partie V de E vérifiant
∃ alpha >0, B(a,alpha)⊂ V

C'est immédiat : si une boule ouverte B est incluse dans O, alors la boule fermée de même centre mais de rayon moitié est incluse dans B et donc dans O...

[dalfred]

Quoiqu'un inclu implique que la boule doit etre ouverte