Aire d'un cosinusoïde de révolution

[Bernard de Go Mars]

Chers vous-autres,

j'ai besoin, pour l'une de mes recherches, de déterminer l'aire d'un corps formé par la révolution d'une courbe cosinus (prise de 0 à pi/2 ) autour de l'axe des angles.

J'ai posé que le diamètre de ce corps de révolution est D et sa longueur L.

La courbe dessinant la génératrice s'écrit donc :

y = (D/2) Cos[(x*Pi /(2L) ] , de sorte que pour x =0, y prenne la valeur D/2 et que pour x = L, y prenne la valeur 0.

L'intégration de l'aire formée par la révolution de cette courbe donne :

Aire = LD Racine(1+[Pi D/(4L)]² ) + 4L²/Pi Asin[Pi D/(4L)]

Pressé par le temps, j'ai fait appel à Wolfram pour obtenir ce résultat que j'espère vous pourrez vérifier.

Si je vous raconte tout ça, c'est que j'ai des doutes sur ce résultat (et donc sur ma démarche) parce que cette aire "analytique" ne vérifie pas l'aire que je trouve par l'intégration "graphique" que j'ai réalisée dans Excel (en considérant la surface à intégrer comme constituée d'une série de troncs de cônes) : il y a trop d'erreur (quelques %) entre l'aire analytique et l'aire "graphique", du moins pour les rapports L/D faibles (autour de 2).

Je recherche une explication à ce désaccord depuis plusieurs jours, en vain.

(pour information, lorsque j'intègre "graphiquement" (par la même méthode) l'aire d'un l'ellipsoïde, je trouve un résultat conforme à l'aire analytique à quelques millièmes de % pour 400 lignes de calculs, ce qui me convient tout à fait, comme précision...


En vous remerciant pour votre intérêt et vos remarques éventuelles ,

Bernard de Go Mars !
-----

[topmath]

j'ai besoin, pour l'une de mes recherches, de déterminer l'aire d'un corps formé par la révolution d'une courbe cosinus (prise de 0 à pi/2 ) autour de l'axe des angles.

bonjour je ne sais en détaille ce que tu veux faire ,mais la seul chose que je sais sur tes donnés lorsque vous avez une figure d'une fonction f(x)=cos(x) sur [0,pi/2] et que si en veux calculer l'air en révolution de cette courbe , en prend celle si et en fait la tourner autour de l'axe oy nous avons un corps presque une paraboloïde inverser
reste maintenant le calcule de l'air engendrer par la rotation de cette courbe facile y' a des formule bien définie pour ça
cordialement.

[ansset]

si j'ai bien compris, tu cherches la surface d'une sorte de ballon de rugby ( la moitié ) qui aurait la forme d'un cosinus.
si x est entre 0 et pi/2
le cercle de centre x vaut 2pi*cos(x).
pour la surface il faut donc intégrer de 0à pi/2 cette valeur

[ansset]

si j'ai bien compris, tu cherches la surface d'une sorte de ballon de rugby ( la moitié ) qui aurait la forme d'un cosinus.
si x est entre 0 et pi/2
le cercle de centre x vaut 2pi*cos(x).
pour la surface il faut donc intégrer de 0à pi/2 cette valeur

ps: rien compris à la réponse de topmath !!

[A voir en vidéo sur Futura]

[ansset]

à ajuster bien sur en fonction de D et L.
et je ne comprend pas non plus le resultat de ton intégrale.

[Dlzlogic]

Bonjour,
Côté mathématique, je n'ai pas de réponse, mais si vous me donnez l'intégrale, je peux la calculer avec un petit programme C.

[ansset]

y = (D/2) Cos[(x*Pi /(2L) ],

il faut donc intégrer y*2pi entre 0 et L et multiplier par 2 ( haut et bas de la courbe )
soit: 2*(2L)*(D/2)*(2pi) = 4piLD

( normal, si L=D/2 ) on a une demi sphère de surface 4piR² donc une demi-sphère 2piR²

[Bernard de Go Mars]

Merci les gars !
Le problème est simple, effectivement. Mais j'ai toujours cette différence incompréhensible entre mon intégration analytique de l'aire (ou plutôt celle de Wolfram) et mon intégration par Excel (qui fait la somme de l'aire de troncs de cônes élémentaires).

>>>>>>>ballon de rugby ( la moitié ) qui aurait la forme d'un cosinus.<<<<<<<<<<

Oui, à ceci près que le ballon de rugby admet une tangente verticale à l'extrémité de son grand diamètre alors que le cosinus n'admet pas une tangente verticale.

>>>>>>>>>>>> donc une demi-sphère 2piR² <<<<<<<<

Quel rapport avec la sphère ? Dans l'intégration, le cosinus ne peut disparaître...


Amicalement,

Bernard de Go Mars

[gg0]

Bonjour Bernard de Go Mars.

Je n'avais pas vu ton message à l'époque. J'ai repris le calcul avec Maple, je ne trouve pas comme toi, je trouve
Aire = L D Racine(1+[Pi D/(4L)]² ) + 4L²/Pi ln[Pi D/(4L)+racine(1+(Pi D/(4L))²)]
et toi
Aire = LD Racine(1+[Pi D/(4L)]² ) + 4L²/Pi Asin[Pi D/(4L)]
En fait, ta formule pose problème car Pi D/(4L)peut dépasser 1 et alors l'arcsin n'est plus défini.

Je te réécris la formule en LaTeX,
avec

Ou encore


Cordialement.

NB : sous réserves d'erreurs de copie. Mais j'ai bien vérifié.

[gg0]

En complément :

J'ai intégré de 0 à L la quantité

obtenue en appliquant la formule.

[topmath]

si j'ai bien compris, tu cherches la surface d'une sorte de ballon de rugby ( la moitié ) qui aurait la forme d'un cosinus.
si x est entre 0 et pi/2
le cercle de centre x vaut 2pi*cos(x).
pour la surface il faut donc intégrer de 0à pi/2 cette valeur

ps: rien compris à la réponse de topmath !!

bonsoir tout le monde j'ai prix la discussion sans entrez dans le détaille (mathématique) ce qui est du reste belle discussion .
cordialement:

[ansset]

visiblement, j'ai mal interprété l'énoncé.

[ansset]

En complément :

J'ai intégré de 0 à L la quantité

obtenue en appliquant la formule.

non, en fait j'ai fait une mega erreur sur la fonction à integrer en oubliant la rac.
mea culpa.

[topmath]

bonjour je ne sais en détaille ce que tu veux faire ,mais la seul chose que je sais sur tes donnés lorsque vous avez une figure d'une fonction f(x)=cos(x) sur [0,pi/2] et que si en veux calculer l'air en révolution de cette courbe , en prend celle si et en fait la tourner autour de l'axe oy nous avons un corps presque une paraboloïde inverser
reste maintenant le calcule de l'air engendrer par la rotation de cette courbe facile y' a des formule bien définie pour ça
cordialement.

pardonnez mois mais l'air en révolution d’après Bernard de Go Mars est suivant ox c'est à dire les angles tout à fais normale que ansset ne ma pas compris or mois j'ai motionner l'axe oy encore une fois pardon .
cordialement :

[Bernard de Go Mars]

Merci les gars. Et surtout à gg0 qui va me permettre de résoudre mon problème et trouver mon erreur.

Oui, gg0, il est assez troublant que dans ma solution pour l'aire, la fonction ArcSinus puisse ne pas être définie pour une valeur quelconque ! Bien vu !

Je vérifie ta solution et je vous tiens au courant.

En vous remerciant encore,

Bernard de Go Mars

[topmath]

Chers vous-autres,

j'ai besoin, pour l'une de mes recherches, de déterminer l'aire d'un corps formé par la révolution d'une courbe cosinus (prise de 0 à pi/2 ) autour de l'axe des angles.

J'ai posé que le diamètre de ce corps de révolution est D et sa longueur L.

La courbe dessinant la génératrice s'écrit donc :

y = (D/2) Cos[(x*Pi /(2L) ] , de sorte que pour x =0, y prenne la valeur D/2 et que pour x = L, y prenne la valeur 0.

Bonsoir pour qu'on participe tous à cette discutions qui est intéressante est aux résulta obtenue par chacun de nous , veillez me corriger SVP si je me tramps d’après les donnés de
Bernard de Go Mars y prenne la valeur max pour x=0 et que y(x)= (D/2) Cos[(x*Pi /(2L) ] reste maintenant le calcule merci .

[gg0]

Bonjour topmaths.
Tu demandes bien si, Bernard ayant dit

J'ai posé que le diamètre de ce corps de révolution est D et sa longueur L. La courbe dessinant la génératrice s'écrit donc : y = (D/2) Cos[(x*Pi /(2L) ] , de sorte que pour x =0, y prenne la valeur D/2
et que pour x = L, y prenne la valeur 0.

alors

Bernard de Go Mars y prenne la valeur max pour x=0
et que y(x)= (D/2) Cos[(x*Pi /(2L) ]

C'est ça ?

Alors je te confirme que noir c'est noir et blanc c'est blanc. N'en doute plus.



A noter : le fait qu'en 0 ce soit un max n'a pas d'utilité pour la question.

[topmath]

bonjour gg0 merci pour la confirmation je vais commencer le calcule:

[Bernard de Go Mars]

Hello les gars !

Il semble que l'aire du cosinusoïde trouvée par gg0 soit la bonne. En tout cas, elle donne une valeur conforme à mon intégration "graphique" effectué dans Excel en 73 lignes (Somme des aires de 73 troncs de cônes élémentaires).

Quand je dis conforme, je veux dire équivalent à 0,02 % près.

Pour 73 lignes, c'est un bon résultat...

Pour ce qui est du passé (qui présage toujours plus ou moins de l'avenir, hélas !), il semble que j'avais mal recopié le résultat donné par Wolfram (dont voici la saisie d'écran d'époque) :



...J'avais oublié l'hyperbolique du sinus et le sinus dans ce sinh !

Faut le faire !

Et ce n'est pas votre tableur qui vous préviendra de ce genre de bêtise !

Ceci étant, si, à l'époque, ma saisie dans Wolfram était la bonne, il y a peut-être bien deux libellés différents pour l'aire.
Avec ces Sinh [Ksin(x) ], il faut se méfier !

Je vais potasser la question...

Amicalement,

Bernard

[Bernard de Go Mars]

Voilà !
Je m'achemine vers un parfait accord avec gg0. Accord purement numérique, pour le moment, car l'aire que je trouve (à l'aide de Wlofram) présente un libellé un peu différent :

Aire : DL{ Racine[ 1+Alpha² ] + (1/Alpha ) Asinh(Alpha) }

...ceci en posant comme toi, gg0, Alpha = PiD/(4L).


Ce libellé est différent mais le Asinh donne bien passage vers un libellé en Ln, ça ne m'inquiète pas.

Ce qui est plus amusant c'est que je crois avoir pris Wolfram en faute (oubli d'un facteur multiplicateur). C'est troublant. j'y reviens cet après-midi.

Amicalement,

Bernard de Go Mars

[gg0]

Bonjour.

En lisant cette page wikipédia à Argument sinus hyperbolique, tu verras qu'on est d'accord.

Cordialement.

[Bernard de Go Mars]

Bien sûr !

j'avais effectivement trouvé dans un grimoire l'identité remarquable :

Asinh (x) = Ln [ x + Rac(1+x²) ].

Et c'est pour cela que je disais que prouver l'égalité de nos aires ne m'inquiétait pas (outre que les applications numériques montraient que ces deux libellés donnait les même résultats)...

Merci donc gg0 de m'avoir sorti de l'ornière où je me débattais.

Ce calcul est destiné à un document sur l'aérodynamique des corps de moindre Traînée aérodynamique (un peu plus de 200 pages) dont la versiond e travail est ici :
http://inter.action.free.fr/tmp/goma...RPS_EIFFEL.pdf
(pour les mordus)
J'aurais plaisir à y citer ton aide : Peux-tu prendre contact avec moi sur mon site :
Go Mars (par "Nous écrire" dans le bandeau puis "go").

---

Je reviens à présent sur le problème de la faillibilité de Wolfram.
Il me semble avoir pris ce logiciel en faute. Voici deux captures d'écran de ce matin :




Est-ce que le diamètre D n'a pas disparu dans la première saisie d'écran (celle de gauche).

Amicalement,

Bernard

[gg0]

Pour avoir eu le problème avec Maple, je vois une possibilité : D est le nom d'un opérateur (dérivation), mais comme il n'est pas suivi d'une parenthèse il est peut-être simplement ignoré.

Cordialement.

NB : j'ai envoyé un mail à Go Mars.

[Bernard de Go Mars]

Cela pourrait être une explication très honorable pour Wolfram.

Ceci étant, comme on le voit sur mes copies d'écran, D est bien pris en compte par Wolfram et est bien suivi d'une parenthèse, à mon sens.

Mais il est exact qu'il y a une dichotomie dans l'écriture du D : en capitale au début, puis en minuscule.
Et c'est quant j'ai supprimé un couple de parenthèses inutiles suivant le D que celui-ci a été pris en compte comme un paramètre.

Supposition : c'est justement la présence de la parenthèse mais l'absence de dx, par exemple, qui a fait ignorer ce D(...)


Au minimum, une mise en garde pourrait signaler à l'usager le risque d'utiliser la lettre D...

Mais cette supposition que D() est un opérateur est assez vraisemblable, au demeurant.

Quoiqu’il en soit, seul ceux qui ne font rien ne se trompent jamais (je viens de le prouver en négatif avec mon erreur sur l'aire du cosinusoïde de révolution) et il n'est donc pas question de blâmer Wolfram. Il s'agit surtout de mettre en garde contre les bugs de toutes sortes qui farcissent nos logiciels qu'on croit souvent infaillibles parce qu'ils sont "informatiques"...


En vous remerciant encore,

Bernard

[topmath]

Chers vous-autres,

j'ai besoin, pour l'une de mes recherches, de déterminer l'aire d'un corps formé par la révolution d'une courbe cosinus (prise de 0 à  ) autour de l'axe des angles.

J'ai posé que le diamètre de ce corps de révolution est D et sa longueur L.

La courbe dessinant la génératrice s'écrit donc :

y = (D/2) Cos[(x*Pi /(2L) ] , de sorte que pour x =0, y prenne la valeur D/2 et que pour x = L, y prenne la valeur 0.

re : si f(x)=y et y = (D/2) Cos[(x*Pi /(2L) ] on sais que pour le calcule d'Air on révolution on la formule : maintenant les bornes de a=0 jusqu' à
maintenant si passant à l'intégral calculant la dérivée de f(x)


effectuant maintenant le changement de variable telque donc

posant encore

implique notre ce réduit à
Donc notre ce réduit à


bien entendue on utilisant le Walfram ce que je remarque ces la même chose à une constante prés, mais je n'est pas terminer en remplaçant les bornes a et b pour avoir le résultat finale je dois vérifier ,normalement ce cités ci haut est plusieurs fois vérifier calculer sous réserve .
remarque éxpliquez moi svp ce terme par une phrase : à mon avis c'est (fonction réciproque de sinus hyperbolique) encore du travail c'est pas finis !!

[gg0]

Attention,

t varie de 0 à L.
Le sinh^-1 est une des notations malsaines pour argsh (fonction argument cosinus hyperbolique), ce n'est ni sin(sh(..)) ni sin(h)^-1.

Quel est ton niveau de maths (parfois j'ai l'impression que tu es un collégien (*), parfois que tu fais des études en université sans trop les comprendre) ? Difficile d'expliquer sans savoir ce que tu es censé connaître.

(*) surtout le comportement.

[topmath]

bonsoir gg0 c'est vrai concernant le résultat de Walfra moi aussi j'ai des doutes donc je vais intégrer ça manuellement ,pour ce qui est niveau c'est bac+5 DES mathématique option probabilités et statistiques (l’équivalent en France d'un Master 2), concernant le comportement c'est lier surtout à l’orthographe je fait beaucoup d’efforts pour améliorer mon Français .
Cordialement :

[gg0]

Effectivement,

ton orthographe laisse pas mal à désirer. Ecrire "Walfra" pour Wolfram qu'il suffit de lire au dessus et copier ne demande pourtant pas un gros effort. Prends le temps de regarder comment s'écrivent les mots.

Tu n'a pas justifié le calcul de la primitive (avant dernière ligne de calcul de ton message #25), donc tu fais bien confiance à Wolfram.

Argsh est la fonction réciproque de sh (qui est une bijection de R sur R).

Cordialement.

[topmath]

re bonsoir gg0 en plus du calcule que je dois faire j'ai pas sauvegarder l'écriture en latex ce qui va pas me facilitez la tache merci encore je vous tiendrez au courant de mais résulta dès que possible.

[gg0]

On peut récupérer le LaTeX en cliquant sur Répondre avec citation au bas du message (on copie, mais on n'envoie pas la réponse avec citation).