Une question sur les polynomes

[math123]

Bonjour,

Voila je voudrai savoir quel est la différence entre le fait d'écrire P[X] et P(X), dans mon cours il est dit que k[a]={P(a), P appartient à K[X]},
Or j'ai une proposition de mon cours que j'ai beaucoup de mal à comprendre notamment lorsque l'on parle d'extension monogène en effet il est écrit dans mon cours : on dit que (K:k) est dite monogène s'il existe a dans K tel que K=k(a)

Si a appartient a K on a k[a] est inclus pouvant être égal à k(a)={P(a)/Q(a) où P,Q sont 2 polynômes de k[x] et Q(a) est différent de 0}

En fait j'ai beaucoup de mal à voir que k[a] est inclus pouvant être égal à k(a) ???

Merci à tous pour vos réponses
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[bobdémaths]

Bonjour,

Il me semble que si K est un corps, K[X] est l'anneau des polynômes à coefficients dans ce corps, alors que K(X) est le corps des fractions rationnelles à coefficients dans ce ce même corps.

Étant donnés un polynôme P et une fraction rationnelle F, P(a) est la valeur de ce polynôme quand on remplace la variable par a. P[a] n'est pas employé, ou alors pour dire la même chose que P(a). Il en va de même pour les fractions rationnelles.

Enfin k(a) est l'ensemble des valeurs prises par toutes les fractions rationnelles de k(X) évaluées en a, et k[a] est la même chose pour les polynômes. Comme tout polynôme est aussi une fraction rationnelle, on a clairement l'inclusion de k[a] dans k(a), avec éventuellement égalité.

[gg0]

Bonsoir Math123.

Ton message est très difficile à lire : Appeler K et k les deux corps n'aide pas, et je ne suis même pas sûr qu'il n'y ait pas une erreur de lettre. Et manifestement, il n'y a jamais la notation P[X] pour un polynôme. la question ne porte donc pas directement sur les polynômes, mais sur les corps et leurs extensions.Si ça ne t'a pas vraiment éclairci, repose ta question en utilisant des lettre différentes pour le corps et son extension, du genre K et L, que je puisse comprendre (J'ai cru comprendre que k est un sous corps de K, que K est une extension de k, mais je suis un peu perdu).
Ah : ça pourrait te servir : Si Q est le polynôme constant égal à 1, P(a)/Q(a)=P(a).

Cordialement.

[bobdémaths]

Oui, je précise suite au message de gg0 que j'ai supposé dans ma réponse que k est un sous-corps de K, et j'ai conservé les mêmes notations dans ma réponse.

[A voir en vidéo sur Futura]