polynôme du 4ème degrés en fonction de 2 paramètres

[lightrom]

bonjour, j'ai réussi au bout d'un bon moment à déterminer les inconnues a,b,c,d et e d'un polynôme du 4ème degrés de la forme :
a + b.x + c.x^2 + d.x^3 + e.x^4
celui-ci me calcul la masse volumique d'un fluide (R134a) en Kg/m3 en fonction de sa température en °C pour une pression constante de 101325 Pa.
c'est super mais le problème c'est que je suis limité à une pression constante et j'aimerais si c'est possible avoir la démarche à suivre pour déterminer une
équation qui me calcul la masse volumique en fonction de la température et de la pression. un grand merci d'avance à celui ou celle qui pourra
m'aider car rien que la première étape m'a retourné le cerveau
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[gg0]

Alors ce serait une mauvaise idée de t'aider pour la suite : On ne veut pas que tu deviennes fou

Mais je crains que ce ne soit pas le bon forum : On s'occupe de maths, ici, pas de physique. Ou alors il va falloir que tu donnes tous les éléments qui permettent de trouver. Et il te faudra espérer que quelqu'un a l'envie de faire le travail !

Cordialement.

[Dlzlogic]

Question : Avez-vous obtenu cette formule à l'aide d'une liste de couples d'observation {masse volumique ; température}?

[lightrom]

je te rassure gg0 c'est bien des maths mais appliqué à un problème thermodynamique. pour répondre à votre question Dlzlogic, je suis bien parti d'une liste
de couples d'observation {masse volumique ; température}. voici les valeurs que j'ai choisi pour mes calculs :
0°C -> 4.696 Kg/m3
25°C -> 4.261 Kg/m3
50°C -> 3.909 Kg/m3
75°C -> 3.614 Kg/m3
100°C -> 3.362 Kg/m3
j'ai ensuite déterminer mes inconnues a,b,c,d et e par calcul et j'ai trouvé cette équation :
y = 4.696 -[/B] 0,0195266667.x + 0,000096.x^2 - 0,000000469333333333313.x^3 + 0,00000000127999999999993.x^4
y = masse volumique du R134a en Kg/m3
x = température du R134a en °C
maintenant j'aimerai intégrer la pression à mon équation du genre :
z = (a + b.x + c.x^2 + d.x^3 + e.x^4)*(f + g.y + h.y^2 + i.y^3 + j.y^4)
mais comment faire??? (je cherche juste la démarche pas le résultat)

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Bonjour.

tes notations ne sont pas claires, car y était la masse volumique et tu dis "introduire la pression".
Mais disons que pour déterminer 10 coefficients, il te faut 10 valeurs. En général, on utilise plutôt des méthodes "plan d'expériences" pour construire ce type de modèle.
Un rappel : ces calculs n'ont d'intérêt que s'ils s'appliquent réellement, et il est sain d'avoir quelques valeurs supplémentaires pour vérifier que le modèle convient. Suivant le choix de tes 10 situations, tu peux avoir un modèle efficace, ou un modèle fantaisiste.

Cordialement.

NB : Comment sais-tu que le modèle est de cette forme ?

[lightrom]

ah oui autant pour moi, ça serai plutôt de ce genre (à titre d'exemple car l'équation si dessous n'est pas la bonne j'ai déjà essayé) :
y = (a + b.x + c.x^2 + d.x^3 + e.x^4)*(f + g.z + h.z^2 + i.z^3 + j.z^4)
y = masse volumique du R134a en Kg/m3
x = température du R134a en °C
z = pression du R134a
j'ai vérifier la première équation et je retombe sur les valeurs de la table, ou pour certaines température j'en suis très proche (sauf si > 100°C ou < 0°C)
donc ça marche plutôt bien je pense. j'ai choisi ce modèle car il revient souvent en math et j'ai remarqué qu'il s'adapte bien à la plupart des cas
(masse volumique de l'eau en fonction de la température par exemple, il faut juste changé a,b,c,d et e mais ça reste la même équation)

[lightrom]

Pour une température constante de 0°C :
101325 Pa -> 4.696 Kg/m3
200000 Pa -> 9.581 Kg/m3
300000 Pa -> 14.914 Kg/m3
400000 Pa -> 20.729 Kg/m3
500000 Pa -> 21.174 Kg/m3

[Dlzlogic]

Bonjour,
Pour une liste de triplets, j'utilise les méthodes d'ajustement habituels, avec une extension de la logique de l'ajustement linéaire.
Pour des listes de plus de 3 inconnues, la méthode est similaire, je peux ainsi calculer une fonction jusqu'à 16 variables.

La méthode du polynôme est intéressante aussi, mais je ne l'ai que pour des couples XY. Je l'ai mise au point par curiosité, mais je l'utilise peu. Pat contre elle a l'avantage de traiter les fonction non monotones, ce qui n'est pas possible autrement.

[ansset]

bjr,
tu aurais pu essayer directement avec des splines !

[lightrom]

en pression effective ça donne ça (je me suis trompé pour la dernière masse volumique) :
0 Pa -> 4.696 Kg/m3
98675 Pa -> 9.581 Kg/m3
198675 Pa -> 14.914 Kg/m3
298675 Pa -> 20.729 Kg/m3
398675 Pa -> 27.174 Kg/m3
et voilà mon équation :
y = 4.696 + 0,1886725098.z + 1.670694605.10^(-11).z^2 + 3.656804420.10^(-18).z^3 + 2.112180783^(-23).z^4

[lightrom]

alors là j'ai plusieurs questions du coup.
qu'est-ce qu'une extension de la logique de l'ajustement linéaire?
qu'est-ce que c'est que les splines?

[Dlzlogic]

Moi je répondrai sur la régression linéaire.
Une régression linéaire consiste à trouver une fonction de la forme Y = A + BX la plus probable, c'est à dire telle que la somme des carrés des écarts est minimale.
A l'aide de changement(s) de variable x->lnX ; y->lnY, on obtient facilement 4 formules différentes.
Si on étend la méthode à une liste de triplets, alors Z = A + BX + CY, et on a ainsi 8 fonction différentes.
La seule condition nécessaire est que les variations soient monotones. Par ailleurs, certains changement de variables ne sont possibles que pour de valeurs positives.

[lightrom]

donc si j'ai bien compris la régression linéaire n'est valable que si la variation est monotone, du coup c'est pas trop ce que je recherche vu que j'étudie aussi la variation de la capacité thermique en fonction de la température (et dans ce cas là sur l'intervalle 0°C ; 100°C y décroit puis redevient croissant) du coup je
ne serai pas aussi précis que par la méthode du polynôme. merci quand même mais je ne pense que cette méthode pourrai convenir dans mon cas.

[lightrom]

les splines n'auraient pas un lien avec l'interpolation par hasard? parce que si c'est le cas je sais interpoler ou extrapolé mais je ne pense pas que ce soit aussi précis que par polynômes, après je me trompe peu être...

[Dlzlogic]

Les splines servent à représenter des surfaces gauches.
A mon avis, le degré 4 n'est mas vraiment utile. Donc le degré 3 avec 2 variables, ça fait déjà 8 paramètres.
Mais il n'y a pas de problème pour calculer une fonction avec 10 paramètres.
Question : vous disposez de combien de triplets ?

[lightrom]

je dispose du couple (température ; masse volumique) pour un intervalle de 0 à 40 00000Pa
et du couple (pression ; masse volumique) pour un intervalle de -60 à 160°C

[gg0]

je dispose du couple (température ; masse volumique) pour un intervalle de 0 à 40 00000Pa

Pour une seule pression ? Ou pour toutes les pressions ?

et du couple (pression ; masse volumique) pour un intervalle de -60 à 160°C

Pour une seule température ? Ou pour toutes les températures ?

Si c'est une seule pression, et une seule température, il est peu probable qu'on puisse dire quoi que ce soit à des pressions et températures différente ...

Cordialement.

[lightrom]

pour toutes les températures et pression

[leon1789]

Petites précisions sur la discussion :

qu'est-ce l'ajustement linéaire?

L'ajustement linéaire est une "approximation" optimale parmi les fonctions du type (de manière générale, cela rien à voir avec les probabilités car c'est un problème d'optimisation. Cela dit, la régression linéaire est très utilisé en statistiques.)

Explication du mot linéaire :
cela vient simplement de la forme de la fonction cherchée, droite en chaque variable .
Il existe plein d'autres types d'ajustements (logarithmique, polynomial, etc.) Une analyse du problème en amont (avant de se lancer dans les calculs numériques) permet parfois de déterminer le type d'ajustement le plus adéquat à la situation, et c'est souvent une erreur de choisir arbitrairement un certain type d'ajustement sans étude préliminaire.

Explication du mot optimal :
On cherche les coefficients de manière à déterminer la meilleure fonction affine. Mais qui dit "meilleur", dit moyen de mesure. Le modèle de régression linéaire est souvent estimé par la méthode des moindres carrés (mais il existe d'autres mesures de qualité, le mot mathématique clé étant norme ).

Concernant la "nécessité" de monotonie : de ce coté, il n'y a aucune contrainte théorique, on peut très bien réaliser un ajustement linéaire d'un nuage de points allant dans tous les sens (exemple : http://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9....A9aire_simple ).
Mais si l'on veut que la régression linéaire soit intéressante, il vaut mieux (mais cela ne garantit en rien un bon résultat) qu'il y ait globalement un mouvement rectiligne.

[Dlzlogic]

Ce que l'appelle triplet est une observation contenant 3 valeurs :température-masse_volumique-pression.
Donc, si on peut fusionner les deux liste de couples pour des masses volumiques identiques en aura un certain nombre de triplets.
Si vous n'avez pas de moyen de créer ces triplets, on pourra pas faire grand-chose.
Mais, j'ai un peu de mal à comprendre, votre première liste (température ; masse volumique) et vous me parlez de Pa (je suppose Pascal), idem pour la seconde ...
... croisé avec gg0 ..
Léon est intervenu encore une fois pour me contredire, donc j'arrête.

[leon1789]

Léon est intervenu encore une fois pour me contredire, donc j'arrête.

Où vois-tu une contradiction ???

Puisque tu le prends sur ce ton, je ne me fais pas de souci pour toi, tu dis que tu arrêtes (personne t'oblige !), mais tu continueras certainement en MP pour éviter des "contradictions".

[lightrom]

si j'ai bien compris dans ce cas j'ai un triplet (température ; masse volumique ; pression) avec une pression constante
et un deuxième triplet (température ; masse volumique ; pression) avec une température constante

[leon1789]

je te rassure gg0 c'est bien des maths mais appliqué à un problème thermodynamique. pour répondre à votre question Dlzlogic, je suis bien parti d'une liste
de couples d'observation {masse volumique ; température}. voici les valeurs que j'ai choisi pour mes calculs :
0°C -> 4.696 Kg/m3
25°C -> 4.261 Kg/m3
50°C -> 3.909 Kg/m3
75°C -> 3.614 Kg/m3
100°C -> 3.362 Kg/m3
j'ai ensuite déterminer mes inconnues a,b,c,d et e par calcul et j'ai trouvé cette équation :
y = 4.696 -[/B] 0,0195266667.x + 0,000096.x^2 - 0,000000469333333333313.x^3 + 0,00000000127999999999993.x^4
y = masse volumique du R134a en Kg/m3
x = température du R134a en °C

Pourquoi cherchez-vous une approximation par polynôme ? Est-ce vraiment des fonctions polynomiales dont vous avez besoin ?

Exemple dans mes souvenirs sur les gaz parfaits (même si ce n'est pas votre cadre) :
la masse volumique est inversement proportionnelle à la température, c'est-à-dire qu'on a une formule du type Y = truc / X où Y est masse volumique et X la température.
Dans cet exemple, ce n'est pas polynomiale. D'où ma question...

[leon1789]

voici les valeurs que j'ai choisi pour mes calculs :
0°C -> 4.696 Kg/m3
25°C -> 4.261 Kg/m3
50°C -> 3.909 Kg/m3
75°C -> 3.614 Kg/m3
100°C -> 3.362 Kg/m3
j'ai ensuite déterminer mes inconnues a,b,c,d et e par calcul et j'ai trouvé cette équation :
y = 4.696 -0,0195266667.x + 0,000096.x^2 - 0,000000469333333333313.x^3 + 0,00000000127999999999993.x^4
y = masse volumique du R134a en Kg/m3
x = température du R134a en °C

Vous proposez un polynôme de degré 4, avec des coefficients que je trouve plus ou moins étranges, mais ils sont peut-être très valables dans votre contexte, je n'en sais rien.

De mon coté, je vois que cette simple fonction Y = 1268 / ( X + 273.15 ) colle pas trop mal à vos données (le 273.15 est là pour passer en °Kelvin, plus "standard" ) (*)

La température se retrouve "logiquement" au dénominateur (car j'ai choisi un modèle où la masse volumique inversement proportionnelle à la température en °K, comme pour les gaz).
Si maintenant, vous ajoutez des résultats avec des variations de pression, alors la pression interviendra probablement au numérateur (en ayant en tête que la masse volumique est proportionnelle à la pression, comme pour les gaz).

C'est à vous de dire ce que vous "intuitez" physiquement comme genre de formule : comme je disais à mon premier message, c'est en amont (avant de se lancer dans les calculs proposés par telle ou telle personne) que l'on peut décider efficacement d'un modèle d'ajustement.


(*) mieux encore Y = 1179/(x+252) par exemple...

[gg0]

si j'ai bien compris dans ce cas j'ai un triplet (température ; masse volumique ; pression) avec une pression constante
et un deuxième triplet (température ; masse volumique ; pression) avec une température constante

Ce qui serait utile c'est d'avoir différents triplets. Pour un triplet (3 nombres) pression constante ne veut rien dire, puisqu'il n'y a qu'une pression. Tu donnes l'impression de ne pas comprendre que pour étudier en fonction de deux variables, il faut savoir ce qui se passe quand les deux variables varient. Pas une seule pour l'autre fixée.

[leon1789]

Je devine que lightroom a réalisé deux expériences : l'une où il a fait varier la température en gardant la pression constante, et l'autre où il a fait varier la pression en gardant la température constante. Mais est-ce vraiment le cas ?...

Par ma part, c'est l'utilisation de polynômes à plusieurs variables qui ne me convainc pas du tout.

[lightrom]

oui effectivement je n'avait pas vu le problème sous cette angle, on peu utilisé :
P.V = n.R.T
V = (n.R.T)/P
avec :
V = volume en m3
n = 9.30 mol/Kg pour du R134a
R = 8.314 J/(Kg.K)
T = température en °C
P = pression en Pa
mais lorsque que je souhaite calculer une capacité thermique en fonction d'une température et d'une pression cette formule n'est plus valable. C'est pour ça que j'aimerai connaitre un autre moyen de déterminer le résultat tout en étant le plus précis possible, et la méthode polynôme de degrés 4 me parai satisfaisante.
en fait mon but final est de déterminer des formules qui me donne la masse volumique, la capacité thermique, la conductivité thermique et la viscosité dynamique en fonction de seulement 2 paramètres, la température et la pression.

[lightrom]

en effet j'ai bien réalisé les 2 expériences ou je fait varier la température en gardant la pression constante, et l'autre où je fait varier la pression en gardant la température constante. le polynôme donne des bon résultats tant que je reste dans l'intervalle 0°C ; 100°C ou l'intervalle 0 Pa ; 398675 Pa

[leon1789]

oui effectivement je n'avait pas vu le problème sous cette angle, on peu utilisé :
P.V = n.R.T
V = (n.R.T)/P
avec :
V = volume en m3
n = 9.30 mol/Kg pour du R134a
R = 8.314 J/(Kg.K)
T = température en °C
P = pression en Pa

T = température en °K

mais lorsque que je souhaite calculer une capacité thermique en fonction d'une température et d'une pression cette formule n'est plus valable. C'est pour ça que j'aimerai connaitre un autre moyen de déterminer le résultat tout en étant le plus précis possible, et la méthode polynôme de degrés 4 me parai satisfaisante.
le polynôme donne des bon résultats tant que je reste dans l'intervalle 0°C ; 100°C ou l'intervalle 0 Pa ; 398675 Pa

J'avoue que visuellement, pour , je ne vois pas de différence entre
votre polynôme y = 4.696 -0,0195266667.x + 0,000096.x^2 - 0,000000469333333333313.x^3 + 0,00000000127999999999993.x^4
et la fraction y = 1182/(x+252) , fraction qui nécessite moins de constantes que le polynôme.

en fait mon but final est de déterminer des formules qui me donne la masse volumique, la capacité thermique, la conductivité thermique et la viscosité dynamique en fonction de seulement 2 paramètres, la température et la pression.

ok, tout un programme

en effet j'ai bien réalisé les 2 expériences ou je fait varier la température en gardant la pression constante, et l'autre où je fait varier la pression en gardant la température constante.

Quels sont vos résultats d'expérience ? Comme gg0, je pense qu'on ne peut dire sans les voir.

[lightrom]

ah oui petite érreur °K pas °C.
résultat des expériences :
-quand la température augmente la masse volumique est décroissante
-quand la pression augmente la masse volumique est croissante