Passage intégrale de surfaces aux intégrales doubles

[bilou51]

Bonjour à tous,

petite question, car je ne suis pas sûre d'avoir bien saisi l'un des éléments de mon cours.

Si l'on a une intégrale de surface sur S, on peut passer à une intégrale double sur D en ajoutant un terme suivant la surface proposée.

Mon problème, c'est : A quoi correspond D ?

J'ai cru comprendre que lorsque l'on a une surface définie par une équation explicite, z= f(x,y), D représentait la projection de la surface sur xOy. Es-ce cela? Qu'en est-il lorsque l'on a une surface paramétrée ?

Merci beaucoup d'avance, à celui qui pourra m'éclaircir
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[gg0]

C'est bien ça pour le cas de la surface z=f(x,y). mais les réponses à ces questions sont dans ton cours. Et si tu l'étudiais ?
Car ce n'est pas avec des idées floues ("on peut passer à une intégrale double sur D ... A quoi correspond D ?") que tu progresseras.

Cordialement.

[bilou51]

Non, justement. Mon cours me donne les formules d'équivalences entre intégrales de surfaces et intégrales doubles. Cependant, ce D n'est pas décrit.

[Paraboloide_Hyperbolique]

Bonsoir,

Il me semble que D (pour "domaine" ?) doit être la surface elle-même (et non sa projection.) Pour moi, "D" est juste une manière commode est rapide d'écrire ce domaine. Par exemple, si la surface est le carré [0, 1] x [0, 1] on a tout simplement D = [0, 1] x [0, 1] et l'intégrale d'une fonction f(x, y) sur cette surface s'écrit:



Ce n'est évidemment pas toujours aussi simple. Par exemple si la surface est l'intérieur du cercle centré en 0 et de rayon R, il vaut mieux passer en coordonnées polaires (en oubliant pas le jacobien) et écrire:



On peut aussi avoir de petites choses amusantes comme: (où D est un triangle rectangle dont l'angle droit se trouve en (0, 0) et l’hypoténuse est délimité par la droite d'équation y = 1-x).

[A voir en vidéo sur Futura]

[bilou51]

Et si c'est un paraboloide par exemple ?

[bilou51]

La par exemple j'ai z=x²+y² 0<z<1. Pour les bornes de D...
C'est pourquoi j'essaye de me représenter D.

De plus, si je paramètre cette surface, et que je passe de l'intégrale sur S à l'intégrale sur D (avec la formule adaptée), alors je ne trouve pas le même résultat qu'en faisant le passage de l'intégrale de surface à l'intégrale double en utilisant la formule lorsque l'on a une surface définie par une équation explicite z=x²+y². Pourquoi?

[bilou51]

J'ai la surface S définie par x²+y²=z ; 0<z<1
Je dois alors calculer la masse totale de cette surface, sachant de la masse surfacique vaut : rac(4x²+4y²+1).

SS (sur S) rac(4x²+4y²+1) = S(0à1) S(0à2pi) rac(4t+1) * rac (t+1/4) dt

car j'ai paramétré ma surface de la façon suivante :

x=rac(t) cos theta
y= rac(t) sin theta 0<theta<2pi 0<t<1.
z=t

Or d'après la correction on devrait avoir :

S(0à1) S(0à2pi) rac(4t²+1) dt. Je ne comprends pas comment on y parvient.
Donc j'ai utilisé z=x²+²=y², avec la formule adéquat. Mais je ne sais pas trouver les bornes des intégrales, à part r entre 0 et 1 en remplacant z par x²+y²...

[topmath]

salut tout le monde c'est pas trop compliquer dans une intégrale double ,si f(x,y)=1 on est dans le calcule de surface d'accord ,reste le Domaine d'intégration c'est bornée y puits x encore b<y<c et a<x<d par exemple faut ou a,b,c,d sont les limite du Domaine à intégré.Et puits faut distingué entre Domaine d’intégration puits la géométrie euclidienne (projection) simple non .

[gg0]

Bonjour Bilou.

Il serait bon de poser complètement ton calcul d'intégrale surfacique :

Puis de regarder le domaine de variation de x et y sous la condition 0<z<1 (le domaine est un disque centré à l'origine de rayon 1). Et ensuite d'appliquer la règle (du cours, si elle est donnée de façon sûre - d'un cours sérieux sinon : on trouve ça facilement sur Internet). En n'oubliant pas le ds.
Par exemple, le résultat est une intégrale double, donc le dt est très insuffisant !!! Il manque une deuxième variable.


Cordialement.