Densité de probabilité

[Xeno]

Bonjour.

Je me pose une question sur les densités de probabilité. Je ne comprends pas pourquoi, d'un point de vue intuitif, la probabilité d'atteindre une valeur fixe exacte est nulle. Avec la définition par des intégrales, cela est bien entendu évident, c'est vraiment la logique de la chose qui m'intrigue.

Exemple, une particule évoluant dans l'espace. A l'instant t, elle atteint une position que je note M. Pourquoi les densités de probabilité prévoyaient une probabilité nulle que la particule arrive en M, alors qu'elle y arrive effectivement?

Si vous pouvez m'aider, d'avance merci!
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[toothpick-charlie]

en gros ta question est : si toutes les valeurs ont une probabilité nulle, comment la variable aléatoire prend-elle une valeur?

pour faire des probas, il n'y a pas besoin de répondre à cette question. Une façon de comprendre pourquoi c'est une modélisation correcte, c'est de penser en termes d'information. Tu ne sais pas où est la particule et tu dois deviner sa position. Mettons que tu saches où elle était à un certain instant. Tu peux faire une prédiction approximative, plus ou moins serrée selon tes capacités de calcul. Mais la prédiction de la position exacte est impossible. D'où la probabilité nulle.

[Amanuensis]

S'il y a une probabilité non nulle p que la particule soit dans un intervalle [x, x+a], au moins l'une des probabilités d'être dans [x, x+a/2] ou d'être dans [x+a/2, x+a] sera inférieure à p/2, car leur somme vaut p (à cause de quelques axiomes élémentaires sur les probas). À force de couper les intervalles en 2 on arrive à des probas aussi petites qu'on veut, à la limite 0.

En un point où densité est finie et continue, on arrive à 0 à la limite de cette manière.

[toothpick-charlie]

une densité de probabilité est finie en principe, c'est une fonction réelle (positive)

[A voir en vidéo sur Futura]

[Amanuensis]

une densité de probabilité est finie en principe, c'est une fonction réelle (positive)

En principe c'est une distribution... Car il quand même pratique de pouvoir utiliser le formalisme pour les cas où il y a des valeurs discrètes (fonction de répartition non continue), non?

[toothpick-charlie]

classiquement on définit une densité de probabilité comme une fonction mesurable à valeurs réelles positives, dont l'intégrale est 1. C'est la définition qu'on trouve dans le Chow & Teicher et dans le Billingsley par exemple (je viens de regarder). Si la loi a des atomes, on dit qu'elle n'est pas absolument continue (par rapport à ... je simplifie) et donc qu'elle n'a pas de densité.

Il y a un théorème qui dit que toute loi sur R est la somme de 3 lois : l'une est absolument continue, la deuxième est purement atomique (discrète) et la troisième est dite "singulière", i.e. a un support de mesure de Lebesgue nulle (mais pas dénombrable).

[Amanuensis]

Je propose de revenir au but de cette discussion, aider Xeno.

[gg0]

Pour Xeno :

Je vais reprendre un argument déjà évoqué. On considère un nombre X pris au hasard équiprobable entre 0 et 1, mais pas 1 (*). On dit que ce nombre suit la loi uniforme sur [0;1].
Les probabilités d'être dans [0;0,5[ et dans [0,5;1[ sont égales par équiprobabilité. Et valent chacune 0,5.
Les probabilités d'être dans [0;0,1[, dans [0,1;0,2[ ... et dans [0,9;1[ sont égales par équiprobabilité. Et valent chacune 0,1.
Les probabilités d'être dans [0;0,01[, dans [0,01;0,02[ ... et dans [0,99;1[ sont égales par équiprobabilité. Et valent chacune 0,01.
etc.
On voit que la probabilité d'être dans un intervalle décimal [a;b[ avec 0<=a<b<1 est b-a (par réunion d'intervalles décimaux.
Par continuité, on a le même résultat pour a et b réels quelconques (toujours entre 0 et 1).
Soit alors un x entre 0 et 1 et e un réel positif :
(valable si x+e<1, mais aussi si e est plus grand)
Comme e peut être aussi petit que l'on veut, on en déduit que P(X=x)=0; c'est d'ailleurs vrai aussi pour x en dehors de [0;1[ par définition de X.

Cette situation se rencontre dans de nombreuses lois de variables aléatoires continues, elle est fausse pour d'autres (loi du temps d'attente à un feu de circulation quand il y a très peu de circulation : la valeur 0 a une proba non nulle, celle d'arriver quand le feu est vert).

Cordialement.

(*) pour simplifier l'explication.

[Amanuensis]

classiquement on définit une densité de probabilité comme une fonction mesurable à valeurs réelles positives

C'est une définition. Il y en a d'autres, et je précise "finie" pour ces autres cas. [fin de HS]

[Xeno]

Bonsoir et merci pour vos réponses.

en gros ta question est : si toutes les valeurs ont une probabilité nulle, comment la variable aléatoire prend-elle une valeur?

Oui, c'est exactement ça mon problème. Si j'ai bien suivi vos explications, il s'agit d'une modélisation et donc automatiquement il y a un certain défaut? (aussi négligeable soit-il)

[gg0]

Non,

il n'y a pas de défaut. Dans les applications, on n'a jamais des nombres réels : On travaille avec des valeurs approximatives. Et on ne s'intéressera jamais à la probabilité que X soit exactement égal à ...
Par exemple, si on mesure les tailles d'hommes adultes, on ne se posera jamais la question : "combien d'hommes mesurent exactement 180 cm. "exactement" n'a pas de sens, on ne sait pas mesurer la taille à 1mm près !! En fait, une taille de 1,80 m correspond à une taille comprise environ entre 1,795 et 1,805 m. Donc la question "combien mesurent 1,80 m ?" est une question de mesure de probabilité d'être dans un intervalle.
En dehors de l'apprentissage de ces notions, les variables aléatoires continues correspondent à des calculs de probabilités par intervalle.

Cordialement.

Nb : Un modèle peut difficilement être parfait, bien sûr.

[Amanuensis]

On peut présenter la même idée dans l'autre sens, précision parfaite mais méthode impraticable.

Supposons qu'on veuille tirer au hasard selon une proba uniforme un réel entre 0 et 1. Pour cela une méthode consiste à tirer à pile ou face ou équivalent les termes successifs de son développement en binaire.

La probabilité de tirer un réel donné a priori avec cette méthode est nulle, mais le tirage proposé prend un temps infini! Autrement dit cette probabilité nulle ne s'applique pas à un cas pratique, mais à une approximation par passage à la limite (ici à la limite d'un tirage demandant une infinité d'étapes), qui se justifie parce qu'on ne veut pas fixer le nombre de binales, juste traiter de manière générale les cas où il y en a "beaucoup".