Définition d'un vecteur

[Uncl3b3ns]

Bonjour,

Je viens d'entamer Einstein gravity in a nutshell d'A.Zee et dès le début, je bloque. L'auteur affirme qu'un vecteur est défini par la façon dont il se transforme, que p est un vecteur s'il se transforme de la manière suivante p'=R(θ)p avec R(θ) la matrice rotation. Ainsi p= (a.p1, b.p2) n'est pas un vecteur si a différent de b (excusez mes notations, c'est mon premier message, je ne suis pas trop au point). Je ne vois pas le rapport entre la rotation d'un vecteur et sa définition. Quelqu'un pourrait développer un peu plus pour m'aider?

Merci
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[gg0]

Bonjour.

Je ne comprends pas trop ce que tu rapportes. J'imagine que c'est la distinction qui est faite par certains physiciens entre vecteur et pseudo-vecteur. Les vecteurs sont indépendants du repère dans lequel on travaille, les pseudo-vecteurs en dépendent (par exemple une force est définie par un vecteur, un moment de force par un pseudo-vecteur car la notion d'orientation dépend du repère, qui définit le sens direct dans l'espace).
Pour les mathématiciens, il me semble que tout ça est remplacé par le calcul tensoriel.

Si tu n'obtiens rien de précis ici, demande à un modérateur de déplacer ton fil en physique.

Cordialement.

[Uncl3b3ns]

Merci pour ta réponse, pour être un peu plus clair (peut être)un exercice est proposé. J'essaye de te le traduire: étant donné 2 vecteurs p et q dans un espace de dimension 3. Prouver que (p2q3, p3q1, p1q2) n'est pas un vecteur (voir comment il se transforme sous une rotation). A contrario (p2q3-p3q2, p3q1-p1q3, p1q2-p2q1) est un vecteur (c'est le produit vectoriel).
Voilà d’où vient mon problème, je ne sais pas répondre a cette question, tout simplement!

[GrisBleu]

Salut

Un vecteur de dimension N est une entite qui se represente, dans une base donnee, par N nombres. Mais, en plus, quand la base change, cette collection change selon une loi bien definie.
La, tu travailles sur des contre exemples: une collection de N nombres, qui evoluent selon certaines lois mais qui ne sont pas des vecteurs (la loi d'evolution n'est pas celle des vecteurs)

Je prend un exemple
+ Sur un dessin, si tu traces une fleche et que tu tournes les axes, tu vois que les projections de ta fleche sur les axes evoluent avec la rotation
+ Inversement, si tu prend la collection (1,0) pour toute base, tu vois qu'il n'y a pas de fleche possible qui te donne ce resultat
Qd il y a une fleche possible, c'est un vecteur, sinon, c'est juste une loi qui a une base associe N nombres, sans sens physique a priori

a+

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Ok.

Il s'agit d'une notion différente, dont je ne vois pas trop l'utilité.

Pour un matheux, tout triplet de nombres est un vecteur, au sens "élément de l'espace vectoriel "
Dans ton exercice, les nombres utilisés ont un statut particulier, j'imagine qu'il s'agit de deux triplets de coordonnées. Donc si on fait un changement de repère, les triplets (p1,p2,p3) et (q1,q2,q3) sont modifiés affinement, pas le triplet (p2q3, p3q1, p1q2). Et tu dois te contenter de simplement tester les rotations.

Comme je ne connais pas ce genre de présentation, qui d'ailleurs me semble malsaine car le produit vectoriel ne se conduit pas affinement comme un simple vecteur, dans une homothétie il est multiplié par le carré du coefficient, je n'irai pas plus loin.

Cordialement.

[taladris]

étant donné 2 vecteurs p et q dans un espace de dimension 3.

Prenons l'exemple de et .

Prouver que (p2q3, p3q1, p1q2) n'est pas un vecteur (voir comment il se transforme sous une rotation).

Alors n'est pas un vecteur.

A contrario (p2q3-p3q2, p3q1-p1q3, p1q2-p2q1) est un vecteur (c'est le produit vectoriel).

mais est un vecteur!

[GrisBleu]

Salut

Je pense que tu n'as pas compris que l'important n'est pas un triplet de nombre isolé, mais bien son évolution sous une rotation (*) R
si p est le triplet de composant du vecteur P dans une base B
si p' est le triplet de composant du vecteur P dans une base B' ou B' est l'image de B par R, alors, tu as


Ce que tu dois vérifier, c'est que si p devient p' par la loi précédente, que q devient q' de la même manière, alors tes différents triplet verifient (ou pas) la même loi

Bon courage

(*) ou toute autre transformation préservant des notions utiles (comme la métrique)

[Uncl3b3ns]

Bonjour et merci pour toutes vos réponses. Je vais vous paraitre un peu lourd mais je n'y arrive toujours pas. Je suis arrivé a la matrice rotation en dimension 3 que je multiplie par les vecteurs mais je ne vois rien me sauter aux yeux.

[GrisBleu]

Salut

Effectivement, je n'avais pas essaye, et ce n'est pas si simple
Je te donne une demonstration valide en dimension 3 (ou le produit vectoriel donne un vecteur, dans d'autres dimensions, ce n'est pas le cas) qui ne fait pas intervenir de longs calculs ou des notions trop complexes
(1) soient x, y et z 3 triplets et R une matrice, det(Rx,Ry,Rz)=det(R)det(x,y,z) (par definition). En dimension 3, le determinant de 3 triplet est le produit mixte de ceux ci: (x^y).z=det(x,y,z). Donc Rz.(Rx^Ry)=det(R) z.(x^y).
(2) Si R est une matrice de rotation, alors, son determinant vaut 1 et R laisse le produit scalaire invariant, cad Ru.Rv=u.v
avec (1) et (2) tu conclus R (x^y) = Rx ^ Ry

Donc, si P et Q sont des vecteurs (au sens physiques), ils s'expriment par les triplets p et q dans une base et p'=Rp et q'=Rq dans la base qui est l'image de celle de depart par la rotation R. Tu viens de monter que l'application de R donne
p --> Rp
q --> Rq
p^q -->R(p^q)
Donc p^q a la meme loi de transformation que p et q, c'est donc un (pseudo ?) vecteur au sens physique

A bientot

[toothpick-charlie]

Un vecteur de dimension N est une entite qui se represente, dans une base donnee, par N nombres. Mais, en plus, quand la base change, cette collection change selon une loi bien definie.

c'est toujours le cas, non?

[taladris]

(1) soient x, y et z 3 triplets et R une matrice, det(Rx,Ry,Rz)=det(R)det(x,y,z) (par definition). En dimension 3, le determinant de 3 triplet est le produit mixte de ceux ci: (x^y).z=det(x,y,z). Donc Rz.(Rx^Ry)=det(R) z.(x^y).
(2) Si R est une matrice de rotation, alors, son determinant vaut 1 et R laisse le produit scalaire invariant, cad Ru.Rv=u.v
avec (1) et (2) tu conclus R (x^y) = Rx ^ Ry

Malheureusement, la condition n'implique pas (seulement que et sont orthogonaux).

Donc, si P et Q sont des vecteurs (au sens physiques) (...) c'est donc un (pseudo ?) vecteur au sens physique

Pourrais-tu definir "vecteur au sens physique" et "pseudo-vecteur"?

[Amanuensis]

Je viens d'entamer Einstein gravity in a nutshell d'A.Zee et dès le début, je bloque. L'auteur affirme qu'un vecteur est défini par la façon dont il se transforme, que p est un vecteur s'il se transforme de la manière suivante p'=R(θ)p avec R(θ) la matrice rotation. Ainsi p= (a.p1, b.p2) n'est pas un vecteur si a différent de b (excusez mes notations, c'est mon premier message, je ne suis pas trop au point). Je ne vois pas le rapport entre la rotation d'un vecteur et sa définition. Quelqu'un pourrait développer un peu plus pour m'aider?

Développer, non, parce que c'est mal démarré. Et, comme l'indique gg0, l'exemple donné ensuite est tout ce qu'il y a de confusant, le produit vectoriel ne donnant justement pas, en toute généralité, un vecteur (le résultat du produit se transforme comme un tenseur asymétrique d'ordre 2, et non comme un vecteur).

Essayons en repartant plus bas. Pas sûr que cela aide, on verra...

On part d'un espace vectoriel réel de dimension 3, notons le E, défini "en soi". Un vecteur de E n'est pas une liste de trois réels, mais juste un élément de E. Autrement dit E n'est pas R^3, c'est un autre espace vectoriel. Il est isomorphe à R^3, mais il n'y a pas (en toute généralité) d'isomorphisme canonique. À une base correspond un isomorphisme, qu'on va noter K. Soit v un vecteur, K(v) est alors un triplet de réels, ses coordonnées, représentant v (via K).

Si on prend K' un autre isomorphisme (une autre base), il existe une fonction R_KK' de R^3 dans R^3 telle que pour tout v R_KK'K(v) = K'(v). C'est un changement de coordonnées, qui se représente par une matrice 3x3 réelle.

Supposons alors qu'on dispose d'une construction P qui à deux(1) vecteurs de R^3 associe un triplet de réels. Clairement, le résultat obtenu est un vecteur de R^3, et la notion de "se transformer comme un vecteur" n'a aucun sens si on se limite à cela.

(1) Plus généralement à n vecteurs, n entier non nul.

La question est s'il y a un sens intéressant à K^-1(P(Kv1,Kv2)), expression dans laquelle v1 et v2 sont des vecteurs de E. L'expression est bien définie, mais elle dépend explicitement de K. Or le choix de K est arbitraire. Si on veut que l'expression ci-dessus ait un sens "intrinsèque à E", il faut que le résultat (dans E) soit indépendant de K. Et c'est cela qu'on appelle "se transformer comme un vecteur": le fait que la construction P décrite dans R^3 puisse être "portée" dans E de manière indépendante du choix de K.

Un exemple très simple est une combinaison linéaire. Si P est l'addition de vecteurs dans R^3, on a bien K^-1((a Kv1+b Kv2)) = a v1 + b v2, résultat indépendant de K.

A contrario, il est facile de trouver des constructions qui n'ont pas cette propriété. Par exemple la fonction dans R^3 (x,y,z) -> (x²,y²,z²) ne donnera pas, une fois passé par K, une fonction vectorielle sur E indépendante du choix de K.

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Prenons l'exemple maintenant. Il est malhabile parce que ni correct ni faux. Il est faux, parce qu'on vérifie aisément ce qu'a indiqué gg0: la construction donne des résultats différents dans E pour K et K' tels que R_KK' soit une simple multiplication par un réel différent de 1.

Par contre, on peut se permettre une restriction, et imposer que R_KK' soit une isométrie directe de R^3, une rotation donc. En d'autres termes, on restreint les bases étudiées à un ensemble d'orthonormées directes.

C'est ce que semble faire l'auteur. Moyennant cette restriction, "se transformer comme un vecteur" devient le fait que la construction P décrite dans R^3 puisse être "portée" dans E de manière indépendante du choix de K pris dans un ensemble de systèmes orthonormés directs

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Cette restriction est assez arbitraire, et est plus ou moins "ad hoc" pour que le produit vectoriel "se transforme comme un vecteur". Si on veut aller assez loin dans la RG (cadre de la "gravité d'Einstein"), faut tôt ou tard passer au concept général de "se transformer comme un tenseur". Dans ce cadre, on formalise correctement le produit vectoriel comme une construction associant à deux vecteurs de R^3 un tenseur d'ordre 2 (une matrice 3x3, et non un élément de R^3), c'est à dire un objet qui se transforme "comme un tenseur d'ordre 2", i.e., qui "passe" dans l'algèbre tensorielle de E de manière indépendante de K quelconque (sans restriction).

[GrisBleu]

c'est toujours le cas, non?

Salut
Un contre exemple est celui là: imagine une entité qui a chaque base B=(e1,...,en) associe (1,0,0,...,0)
Dans une base donnée, c'est bien un N uplet, mais ce n'est clairement pas un vecteur
++

[GrisBleu]

Malheureusement, la condition n'implique pas (seulement que et sont orthogonaux)

Salut
Effectivement, tu as bien avec (1) et (2)
Rz.(Rx^Ry)= z.(x^y) (det R = 1)
= z. Q (Rx^Ry) (ou Q est l'inverse de R)
Donc z.(x^y - Q(Rx^Ry)) = 0
Mais l'astuce est que z est quelconque, donc tu as en vecteur u = x^y -Q(Rx^Ry) dont le produit scalaire avec tout vecteur z est nul, il est donc nul
++

[toothpick-charlie]

Salut
Un contre exemple est celui là: imagine une entité qui a chaque base B=(e1,...,en) associe (1,0,0,...,0)
Dans une base donnée, c'est bien un N uplet, mais ce n'est clairement pas un vecteur
++

je ne vois pas bien ce que c'est qu'une "entité". Mais ici ça ressemble à une application (constante) de l'ensemble des bases vers peut-être R^n, effectivement ce n'est pas un vecteur de R^n.

mais bon, grâce aux explications d'Amanuensis je vois de quoi vous parlez.