compacité

[andromedae]

salut , je veux discuter la démonstration de la propriété :

si A est un compact de E (e-v-n) ,Alors est un fermé de E.

Démonstration: soit L appartenant a l'adhérence de A ,donc il existe une suite (an) de A^N / lim an=L. on a A compact et pr tt n de N ,(an) appartient a A.

(an) admet une valeur d'adhérence B appartenant a A or L est la seule valeur d'adhérence de (an) donc L=B , or B appartient a A ,donc L appartient a A et par suite l'adhérence de A est incluse dans A , donc A est un fermé de E.

se qui m'intrigue c le faite de dire que "L est la seule valeur d'adhérence de (an)" , il existe bien une suite qui a 2 valeurs d'adhérence ( une suite divergente par exemple )

pouvez vous me donner votre avis? ,merci !
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[Seirios]

Bonsoir,

Une suite peut effectivement avoir plusieurs valeurs d'adhérence, mais une suite convergente ne peut en avoir qu'une seule : précisément la valeur de la limite.

[andromedae]

je suis d'accord avec vous , donc le problème réside dans la rédaction

[Dicolevrai]

Salut à tous!
Aucunement, pas de problème de rédaction!

Une valeur d'adhérence d'une suite, est la limite d'une sous suite de ladite suite. Lorsqu'une suite est convergente, toutes ses sous suites convergent vers la même limite(limite de la suite).

Un espace topologique est dit compact si de toute suite, on peut extraire une sous-suite convergente.

Bon après-midi!

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

je suis d'accord avec vous , donc le problème réside dans la rédaction

Tu peux par exemple supposer par l'absurde qu'il existe deux valeurs d'adhérence, et trouver une contradiction avec la convergence.

Un espace topologique est dit compact si de toute suite, on peut extraire une sous-suite convergente.

Ce n'est pas la définition de compacité des espaces topologiques : un espace topologique est compact, si de tout recouvrement ouvert, on peut extraire un sous-recouvrement fini. La compacité n'est généralement pas équivalente à l'existence d'une sous-suite convergente à toute suite (mais elle l'est par exemple pour les espaces séparables).

[Dicolevrai]

Waou, merci pour la remarque Seirios.

Tout e.v.n. étant séparable, la preuve de andromedae, est fondée sur une base juste.

Bon après-midi!

[toothpick-charlie]

Je ne sais pas pourquoi le fait que E est un evn figure dans les hypothèses, mais la propriété est vraie dans un espace topologique séparé mais autrement quelconque. On peut la démontrer en utilisant la caractérisation de Heine-Borel (avec les recouvrements ouverts).

[Seirios]

Tout e.v.n. étant séparable, la preuve de andromedae, est fondée sur une base juste.

Non, tout espace vectoriel normé n'est pas séparable. Par exemple, n'est pas séparable, pourtant c'est un espace de Banach pour la norme sup.

Cela dit, je ne voulais pas parler des espaces topologiques séparables, mais à base dénombrable, ce qui est le cas de tout espace métrique par exemple.

Je ne sais pas pourquoi le fait que E est un evn figure dans les hypothèses, mais la propriété est vraie dans un espace topologique séparé mais autrement quelconque. On peut la démontrer en utilisant la caractérisation de Heine-Borel (avec les recouvrements ouverts).

On apprend souvent la topologie des espaces vectoriels normés avant la topologie générale (si toutefois on la voit...).

[andromedae]

merci pr vos réponses !