Les isomorphismes ...

[FredericMars]

Hello tout le monde !

Est-ce que vous pourriez m'apporter votre aide, s'il vous plait ? C'est pour un exercice d'isomorphisme que je ne trouve pas principalement. Mais dans cet exo, y a également d'autres petits sous-questions et là, même si je penses + ou - m'être débrouillé, j'aimerais quand même aussi votre avis (histoire de savoir si je fais pas non plus fausse route). Par contre, pour les 2 dernières sous-question, je cale totalement parce que justement on me demande de trouver un isomorphisme. L'exo est le suivant :

SoitT={ }.

1) On demande demontrer que le produit matriciel x [/TEX]T \to T [/TEX] munit T d'une structure de groupe (T,o,Id) et si ce groupe est commutatif (=abélien) + jutifier.

*D'après moi, suffit de montrer que l'identité appartient à (T,o,Id) (suffit de prendre a=c=1 et b=0 pour le voir) et pour montrer qu'il y a bien le produit matriciel, on considère et on montre que appartient bien à T. C'est bien ça ?
Pour montrer que c'est commutatif je fais
Jusque là, je crois pas avoir écrit trop d'âneries. Mais si vous me dites que j'en ai écrit, n'hésitez pas à me le dire

2) Faut montrer que est sous-groupe normal de (T,o,Id).

Perso, je fais comme ça (j'utilise la définition) : un sous-groupe S d'un groupe T est normal dans T s'il est stable par conjugaison :
{}

Là, je trouve que est de la forme :
Là, j'ai un blème puisque cette dernière matrice n'appartient pas à S. Est-ce qu'on peut m'aider ?

Et le plus dur ce sur quoi je bloque terriblement : ces pour les 2 sous-questions suivantes :
3) Le groupe (T,o,Id) est-il isomorphe au groupe additif (R,+,0) ?
4) Le groupe (S,o,Id) est-il isomorphe au groupe additif (R,+,0) ?
Bon, quelque chose me dit que pour le 3), c'est non et que le 4) c'est oui et qu'il faut que je trouve un isomorphisme. Mais que ce soit pour la 3) ou la 4) je bloque vraiment

Et désolé pour ma façon d'écrire en LateX, je suis encore très lent en LateX et ne connaît pas encore toutes les astuce de LateX. Mais j'espère que c'est pas trop désagréable à lire. Sorry.

Je vous serai vraiment hyper reconnaissant si vous pouviez m'aider.
Je vous remercie déjà pour toute aide que vous pourrez m'apporter.
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[FredericMars]

Euh désolé pour ce que j'ai écrit en LateX. J'ai fait des erreurs en écrivant sorry mais j'espère que vous comprendrez ce que j'ai voulu écrire. Il manque des { } quand je définis S pour montrer que c'est un ensemble et quand il est écrit x [/TEX]T \to T [/TEX] et bien en fait je voulais écrire ça :
o:T x

Encore désolé pour mon manque d'expérience avec LateX.
Sinon est-ce que quelqu'un sait m'aider pour l'exercice ?
Encore Merci.

[Dicolevrai]

que représent R0 ?

[FredericMars]

que représent R0 ?

Ca représente les réels sans le zéro càd \{0}. Encore désolé pour ma façon d'écrire en LateX (j'ai débuté depuis peu avec LateX).
Une idée pour l'exercice ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Bonjour,

Pour Latex, n'hésitez pas à poser des questions, il y a un fil dédié à ces questions.

Par exemple :

Il y une erreur (sans doute de frappe) dans le calcul de et je ne vois pas comment vous en déduisez que : , d'autant plus que c'est faux.

[Amanuensis]

*D'après moi, suffit de montrer que l'identité appartient à (T,o,Id) (suffit de prendre a=c=1 et b=0 pour le voir) et pour montrer qu'il y a bien le produit matriciel, on considère et on montre que appartient bien à T. C'est bien ça ?

Manque l'inverse.

2) Faut montrer que S (...) est sous-groupe normal de (T,o,Id).

Perso, je fais comme ça (j'utilise la définition) : un sous-groupe S d'un groupe T est normal dans T s'il est stable par conjugaison

Certes, mais la première étape est de montrer que c'est un sous-groupe!

Là, j'ai un blème puisque cette dernière matrice n'appartient pas à S.

Erreur sur l'inverse.

[FredericMars]

Merci pour toutes vos corrections déjà et si rapides !

Je suis en train de faire les corrections sur un brouillon puis je les posterai (et là, j'espère que je me serai plus trompé).

Est-ce que vous savez m'aider pour les sous-questions 4) et 5) sur les isomorphismes parce que pour celles-là, je bloque totalement ...

Allez, sur ce je m'y remets puis je poste les corrections faites sur vos conseils ! Merci !

[Amanuensis]

Est-ce que vous savez m'aider pour les sous-questions 4) et 5) sur les isomorphismes parce que pour celles-là, je bloque totalement ...

Pour les questions 3) et 4) [pas de question 5) dans le message #1...], répondre correctement aux 1) et 2) donne des pistes.

[FredericMars]

Me revoilà

Alors pour la 1) en effet il manquait l'inverse (sorry et en plus, par après quand j'avais calculé l'inverse, c'était pas bon).

qui appartient bien à T

Pour la 2), j'ai recalculé et j'espère cette fois-ci sans faute : qui appartient bien à S cool, c'est OK.

Mais on m'a fait remarqué qu'en plus, je devais montré que S était un sous-groupe de T. Alors je le fais :

Pour ça, je dois montrer que S induit un sous-groupe de T si et seulement s'il est non vide (ce qui est vrai puisqu'il contient au moins l'élément neutre), inclus dans T et :

qui appartient bien à S O.K.


Pour les sous-questions 3) et 4) (ouais y pas de sous-question 5), je suis un grand distrait ... pardon), malgré les indices, je vois toujours pas (et c'est pas faute de bonne volonté ...).

[Amanuensis]

Et la commutativité de T? (Cf. message #5)

[FredericMars]

Et la commutativité de T? (Cf. message #5)

Ah ouais, merci ! J'avais encore oublié. Comme je disais je suis un grand distrait ...
Alors pour la commutativité, j'ai que est abélien (ou commutatif) si la loi de composition interne du groupe est commutative, càd quand :
pour tous

qui n'est pas égal à


donc c'est pas commutatif (et donc je m'étais trompé plus haut pour ça aussi ...).

Et bien, merci pour ça aussi ! Heureusement que ce forum existe

Euh sinon est-ce que quelqu'un sait m'aider pour les questions 3) et 4) ?

[Amanuensis]

Euh sinon est-ce que quelqu'un sait m'aider pour les questions 3) et 4) ?

La commutativité?

Et en vérifiant que S est un sous-groupe, pas remarqué quelque chose?

[FredericMars]

La commutativité?

Et en vérifiant que S est un sous-groupe, pas remarqué quelque chose?

Et bien, dis comme ça, ça donne vraiment envie de savoir répondre. Mais pour être honnête, je comprends pas à quoi tu fais allusion.

Pour la commutativité, j'ai bien montré que T était commutatif mais je vois pas en quoi ça peut m'aider pour trouver un isomorphisme et pareil, pour le sous-groupe, j'ai bien montré que S était un sous-groupe de T mais je vois pas non plus comment ça peut m'aider à trouver un isomorphisme (ou au contraire, s'il y en a pas, prouver qu'il n'existe pas d'isomorphisme).

Je me suis dit en réfléchissant encore que tu faisais peut-être allusion à un des théo d'isomorphisme et puis, en revoyant les théo d'isomorphisme, je me suis dit que je me trompais encore ... On sait pas utiliser dans ce cas ci les théo d'isomorphisme.

Je vois vraiment pas comment il faut faire pour trouver un isomorphisme Sorry

[Médiat]

Pour la commutativité, j'ai bien montré que T était commutatif mais je vois pas en quoi ça peut m'aider pour trouver un isomorphisme

Non, vous avez montré qu'il n'était pas commutatif, ce qui suffit pour affirmer quelque chose sur l'existence d'un isomorphisme avec un groupe commutatif.

pour le sous-groupe, j'ai bien montré que S était un sous-groupe de T mais je vois pas non plus comment ça peut m'aider à trouver un isomorphisme (ou au contraire, s'il y en a pas, prouver qu'il n'existe pas d'isomorphisme).

Dans la mesure où un élément de ce sous-groupe est complètement décrit par un réel, la première chose à essayer pour montrer qu'il existe un isomorphisme devrait sauter aux yeux (et en plus la démonstration, une fois le choix établi, est déjà faite).

[FredericMars]

Non, vous avez montré qu'il n'était pas commutatif, ce qui suffit pour affirmer quelque chose sur l'existence d'un isomorphisme avec un groupe commutatif.

Juste! J'ai bien montré que c'était pas commutatif (et puis, j'ai dit bêtement le contraire, c'est une erreur de ma part) Sorry.

Je planche actuellement sur ton conseil. Pour l'instant, j'ai pas encore trouvé mais je continue à chercher. Dès que j'avance un peu, j'écrirai pour montrer ce que j'ai réussi ou pas ...

Dans la mesure où un élément de ce sous-groupe est complètement décrit par un réel, la première chose à essayer pour montrer qu'il existe un isomorphisme devrait sauter aux yeux (et en plus la démonstration, une fois le choix établi, est déjà faite).

Ouais, le réel dont tu parles, c'est b. J'avais pas fait trop attention mais c'est vrai que juste b suffit presque pour décrire le sous-groupe.
Mais je comprends pas pourquoi si je trouve l'isomorphisme, que la démo ne sera plus à faire, comme si elle était déjà comprise dans la réponse des sous-questions précédente ?

Bon, je vous dis de quoi un peu plus tard le temps de chercher encore En attendant merci pour vos conseils ! Ca aide !

[Médiat]

Mais je comprends pas pourquoi si je trouve l'isomorphisme, que la démo ne sera plus à faire, comme si elle était déjà comprise dans la réponse des sous-questions précédente ?

Ce que je voulais dire c'est que lorsque vous ferez la démonstration que la fonction que vous imaginerez est un morphisme, vous constaterez que les calculs sont déjà faits (montrer que c'est une bijection étant absolument trivial ici).

[Amanuensis]

[Je pense utile à ce stade de mettre les points un peu plus proches des i...]

Mais je comprends pas pourquoi si je trouve l'isomorphisme, que la démo ne sera plus à faire, comme si elle était déjà comprise dans la réponse des sous-questions précédente ?

Réfléchissez à ce qui suit, que vous avez vous-même écrit:

Pour ça, je dois montrer que S induit un sous-groupe de T si et seulement s'il est non vide (ce qui est vrai puisqu'il contient au moins l'élément neutre), inclus dans T et :

qui appartient bien à S O.K.

[FredericMars]

Alors voilà ma proposition de réponse :

Je pose (où R sont les réels) tel que

C'est bijectif (car surjectif et injectif).
Est-ce un homomorphisme de groupes ? Oui car :

en effet et

D'où S est isomorphe à (R,+,0).

J'espère que c'est bon ...

Dans le même genre d'idée, je dirai que T est pas isomorphe à (R,+,0) mais je ne sais pas le justifier En fait, si j'ose affirmer que c'est pas isomorphe, c'est parce que contrairement à S qui était déterminé par juste le réel b, et bien, T lui est déterminé non par 1 réel mais par 3 ... Donc je le vois mal isomorphe à (R,+,0). Mais ma justification est nulle

Vous m'avez beaucoup aidé déjà mais est-ce que vous pourriez encore m'aider pour ces 2 dernières choses car suis pas sûr du tout, svp ?

[Amanuensis]

J'espère que c'est bon ...

Presque. L'inverse manque encore... (Et on peut grouper respect de la loi et respect de l'inverse en une seule formule, déjà écrite )

Dans le même genre d'idée, je dirai que T est pas isomorphe à (R,+,0) mais je ne sais pas le justifier En fait, si j'ose affirmer que c'est pas isomorphe, c'est parce que contrairement à S qui était déterminé par juste le réel b, et bien, T lui est déterminé non par 1 réel mais par 3 ... Donc je le vois mal isomorphe à (R,+,0). Mais ma justification est nulle

Ouaip, ça pourrait marcher, mais faudrait élaborer bien plus ; dans l'état c'est insuffisant. Il y a bien plus simple, et l'indice a déjà été donné. À ce stade, pas moyen d'aider plus sans donner la réponse!

[Médiat]

J'espère que c'est bon ...

Oui, il n'est pas nécessaire de démontrer quoi que ce soit avec l'inverse.

Mais ma justification est nulle

Oui .
Cela peut donner une intuition, mais ce n'est pas suffisant, par contre, je vous rappelle que deux structures isomorphes vérifient les mêmes formules.

[FredericMars]

Presque. L'inverse manque encore... (Et on peut grouper respect de la loi et respect de l'inverse en une seule formule, déjà écrite )

Ouaip, ça pourrait marcher, mais faudrait élaborer bien plus ; dans l'état c'est insuffisant. Il y a bien plus simple, et l'indice a déjà été donné. À ce stade, pas moyen d'aider plus sans donner la réponse!

Juste ! Pour la formule à laquel tu fais allusion c'est : ?

Mais ici, je crois que c'est plus simple si j'écris seulement quelque soit b.

L'inverse existe donc bien.

Et donc, S isomorphe à (R,+,0) Cool.

Mais pour montrer que T est pas isomorphe à (R,+,0), je ne vois pas comment démontrer qu'il n'existe pas d'isomorphisme
J'ai relu les messages précédents mais je vois pas l'indice (ou bien je crois que je connais pas le théorème qu'il faut) pour cette partie là ? Le fait que T ne soit pas abélien, ça joue un rôle ? Y a un théorème qui utiliserait ce fait là ?

[FredericMars]

Oui, il n'est pas nécessaire de démontrer quoi que ce soit avec l'inverse.


Oui .
Cela peut donner une intuition, mais ce n'est pas suffisant, par contre, je vous rappelle que deux structures isomorphes vérifient les mêmes formules.

J'ai écrit en même temps, donc j'ai pas eu le temps de voir vos nouveaux conseils quand j'ai écrit mon précédent message.

Mais si je comprends bien, en montrant que T et (R,+,0) ne vérifient pas les même formules, alors ça suffira à prouver que ils ne sont pas isomorphes entre eux ?

[Médiat]

J'ai écrit en même temps, donc j'ai pas eu le temps de voir vos nouveaux conseils quand j'ai écrit mon précédent message.

Dommage, parce que ce que vous avez fait pour l'inverse est totalement inutile

Quant à , cela n'a aucun rapport avec l'inverse dans le groupe (dire que existe c'est juste exprimer que est bijective.

Mais si je comprends bien, en montrant que T et (R,+,0) ne vérifient pas les même formules, alors ça suffira à prouver que ils ne sont pas isomorphes entre eux ?

Oui, il suffit de trouver une formule vérifiée par l'une et pas par l'autre pour qu'elles ne puissent pas être isomorphes

[FredericMars]

Dommage, parce que ce que vous avez fait pour l'inverse est totalement inutile

Quant à , cela n'a aucun rapport avec l'inverse dans le groupe (dire que existe c'est juste exprimer que est bijective.

Concernant l'inverse, c'est bien ce qui me semblait mais comme tout n'est pas encore clair dans ma tête (mais ça commence petit à petit à le devenir), j'ai préféré faire ce qu'on me conseillais (surtout que vos conseils m'ont beaucoup aidé jusqu'à présent ).

Oui, il suffit de trouver une formule vérifiée par l'une et pas par l'autre pour qu'elles ne puissent pas être isomorphes

Cool. Et bien, je m'y remets donc et vous dis à tantôt quand j'aurai trouvé

[Médiat]

Cool. Et bien, je m'y remets donc et vous dis à tantôt quand j'aurai trouvé

Mais vous l'avez déjà !

[FredericMars]

Mais vous l'avez déjà !

Après le souper, j'ai eu :

1) le ventre bien rempli
2) une illumination !

Mon illumination, c'est que je crois que j'ai trouvé le "ce que j'avais déjà" : T n'est pas isomorphe à (R,+,0) car T n'est pas commutatif (abélien) alors que (R,+,0) est commutatif !

Euh j'espère que c'est bien ça, sinon j'aurais presque pas l'air d'un ***

[Médiat]

T n'est pas isomorphe à (R,+,0) car T n'est pas commutatif (abélien) alors que (R,+,0) est commutatif !

Oui, c'est bien cela (R, +, 0), commutatif, ne peut donc être isomorphe à (T, o, Id), non commutatif.

[FredericMars]

Et bien, me reste plus qu'à vous redire un grand merci !