[Algèbre]noyau et cône

[Manolack]

On me demande de déterminer le noyau d'une forme quadratique q sur un espace vectiorel E puis de démontrer qu'il est inclus dans le cone isotrope de q.

quésako ?

Le noyau de q ce sont bien les vecteurs de E qui sont orthogonaux à tous les autres vecteurs de E ?
Et pratiquement comment fait on pour déterminé ce noyau à partir de la? (Si c'est la bonne définition)
Je pense qu'il faut trouver déjà la forme polaire de q, non ?

Quand au cone isotrope de q, il me manque la définition pour travailler dessus...

Merci d'avance.

[fderwelt]

On me demande de déterminer le noyau d'une forme quadratique q sur un espace vectiorel E puis de démontrer qu'il est inclus dans le cone isotrope de q.
Merci d'avance.

Bonjour,

Rien de bien méchant... juste un problème de définitions.

Le plus simple pour trouver le noyau est effectivement de construite la forme polaire par la formule classique:

qui est bilinéaire, après ça dépend du rang de la forme quadratique.

Le cône isotrope est simplement l'ensemble des vecteurs isotropes (c'est malin) , c'est-à-dire tels que q(x)=0. Ce n'est pas (en général) un sous-espace vectoriel.

Ca devrait suffire pour attaquer...

-- françois

[GuYem]

Salut, determiner le noyau n'est pas chose facile si la forme est trop générale.

Par contre montrer qu'il est inclu dans le cone isotrope est simple, vu la définition du cone donné par françois

[Manolack]

J'ai un peu de mal à résoudre pratiquement.
On m'a donné une forme quadratique sur R^3
q(X)=x²+xy+xz avec X=(x,y,z)

J'ai déterminé la forme polaire associé
f(X,Y)= x1y1 + (1/2)*( x1y2 + y1x2 + x1y3 + y1x3 )
avec X=(x1, x2, x3)
et Y=(y1, y2, y3)

mais je ne sais pas comment déterminer le noyau de f.
Si j'ai bien compris, c'est l'ensemble des vecteurs x tel que
f(x, y)=f(y,x)=0
quel que soit y appartenant a R^3.
Mais a partir de cette définition je ne sais pas comment faire.

Faut il utiliser le théorème qui dit qu'un vecteur est orthogonale à un ensemble si et seulement si il est orthogonale a tous ses vecteurs de base ?

en pratique est ce que ca revient a resoudre AX=O
Avec A la matrice de f dans la base canonique et X le vecteur (x,y,z) ?

[rvz]

en pratique est ce que ca revient a resoudre AX=O
Avec A la matrice de f dans la base canonique et X le vecteur (x,y,z) ?

Oui, tout à fait. Matriciellement, f s'écrit en effet

Donc, si X est dans le noyau de Q, alors, pour tout Y,
. Donc AX = 0. La réciproque étant évidente.
Et le cône isotrope c'est l'ensemble des X tels que X.AX = 0

__
rvz

[fderwelt]

Salut, determiner le noyau n'est pas chose facile si la forme est trop générale.

Pas si méchant que ça, si on raisonne matriciellement comme tu le suggères. En dimension n, on aboutit à un système de n équations à n inconnues, mais ces équations ne sont pas a priori indépendantes. L'ensemble des solutions de AX = 0 (avec tes notations) est un sous-espace vectoriel, de dimsneion n - rang(A).

Après, en pratique, c'est souvent plus enquiquinant... Mais on peut peut-être se contenter de donner les équations du noyau, sans forcement en exhiber une base?

-- françois

[Manolack]

q(X)=x²+xy+xz avec X=(x,y,z)
f(X,Y)= x1y1 + (1/2)*( x1y2 + y1x2 + x1y3 + y1x3 )

Pour trouver le noyau j'ai fait:
A.X=0

ou A est la matrice de f et j'ai trouvé:
x=0
y=-z

j'en ai donc déduit que le noyau de f est vect{(0,1,-1)}

Et si j'ai bien compris, chercher le noyau de la forme polaire associée à une forme quadratique sur E, c'est chercher l'orthogonale de E?

[GuYem]

Tu as bien compris, on note souvent Ker q = E°

[Manolack]

Pour ce qui est du cone isotrope de q, j'ai donc résolu q(x)=0 ce qui m'a donné x²+xy+xz=0

Est ce que l'ensemble des vecteurs isotropes de q est un espace vectoriel?

J'ai trouvé plusieurs vecteurs qui vérifient cette équation. Est ce que je peux dire que le cone isotrope est l'espace généré par les vecteurs que j'ai trouvé ?

[fderwelt]

Pour ce qui est du cone isotrope de q, j'ai donc résolu q(x)=0 ce qui m'a donné x²+xy+xz=0

Est ce que l'ensemble des vecteurs isotropes de q est un espace vectoriel?

J'ai trouvé plusieurs vecteurs qui vérifient cette équation. Est ce que je peux dire que le cone isotrope est l'espace généré par les vecteurs que j'ai trouvé ?

SURTOUT PAS!!!

Le cône isotrope n'est pas (en général) un espace vectoriel: la somme de deux vecteurs isotropes n'est r isotrope que si ces deux vecteurs sont orthogonaux...
(à cause que:

)

Mais le cône isotrope (notons-le K) est stable par homothétie: si alors quel que soit . C'est pour ça qu'on l'appelle un cône.

-- françois

[martini_bird]

Salut,

paraphrasé en termes généraux: un cône est rarement un espace vectoriel...

Cordialement.

[Manolack]

Je comprend mais alors quand on me demande l'ensemble des vecteurs isotropes, je ne peux que donner la forme générale de l'équation ?
Ici ce serait:
q(X)=0 soit x²+xy+xz=0
avec X=(x,y,z)

D'autre part, comment peut on montrer que le noyau d'une forme quadratique q est inclus dans le cone isotrope de q ? Je ne sais pas trop comment raisonner pour ce problème.

En tout cas merci bcp pour toute votre aide :d

[GuYem]

Prends un vecteur dans le noyau et montre qu'il est dans le cone.

C'est pas trés dur, c'est presque immédiat.

[rvz]

Je comprend mais alors quand on me demande l'ensemble des vecteurs isotropes, je ne peux que donner la forme générale de l'équation ?
Ici ce serait:
q(X)=0 soit x²+xy+xz=0
avec X=(x,y,z)

q(X) = 0 s'écrit

qui a quand même une plus jolie forme.

__
rvz

[fderwelt]

D'autre part, comment peut on montrer que le noyau d'une forme quadratique q est inclus dans le cone isotrope de q ? Je ne sais pas trop comment raisonner pour ce problème.

Les vecteurs du noyau sont orthogonaux à tous les vecteurs de l'espace. Donc, en particulier, à eux-mêmes.
L'inverse nest pas vrai (en général).

-- françois