La sphère considérée comme de dimension 2 ? Faut arrêter le calumet !

[taladris]

Dans le cadre de la géométrie euclidienne la dimension du point est pourtant 0.

Je ne comprends pas le "pourtant" de votre remarque. Cela ne contredit en rien ce qui a ete ecrit precedemment. Le point (a,b) est une sous-variete de dimension 0 du plan, qui est lui de dimension 2.

De maniere un peu pedante, le point (a,b) est l'intersection transverse des deux hypersurfaces x=a et y=b, donc un point est de codimension 2 dans le plan. Comme dans une variete, un point est necessairement de dimension 0, cela implique que le plan est de dimension 2. En utilisant lattitude et longitude, le meme raisonnement s'applique a la sphere S2, qui est donc aussi de dimension 2.
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[invite6754323456711]

Je ne comprends pas le "pourtant" de votre remarque. Cela ne contredit en rien ce qui a ete ecrit precedemment. Le point (a,b) est une sous-variete de dimension 0 du plan, qui est lui de dimension 2.

Cela ne portait pas sur l'aspect mathématique, mais sur l'aspect épistémique. meriadeg parlait d'épaisseur d'une droite. j'ai mentionné la dimension 0 du point. D'ou mon interrogation : En mon sens vos questions sont plutôt d'ordre épistémique.

Patrick

[Deedee81]

Salut,

Amanuensis, merci de ta précision.

C'est grave ça, j'ai vérifié et j'avais déjà oublié pleins de choses sur l'homotopie. Pfff et il n'y a pas si longtemps que je l'ai étudié. J'espère que ce n'est pas un signe de l'âge.

Un exemple pour quoi, cela m'échappe? Le sens du message #21 m'échappe, indépendamment des détails. Même si le tore n'était pas plongeable isométriquement dans R^3, ce serait un exemple de quoi, dans le contexte du message #20 ?

En fait, ce n'était pas pour le message 20. Je cherchais, pour l'initiateur du fil, un exemple montrant qu'un objet comme la sphère, le tore ou tout autre pouvait clairement être vu comme un objet 2D et qui ne pourrait même pas, dans certains cas, être plongé en 3D. Je pouvais difficile plus mal choisir (et encore plus mal expliquer). Là-dessus, je ne trouve pas/plus de bon exemple.

[Amanuensis]

La difficulté pour l'initiateur du fil est de faire la différence entre une variété "abstraite", comme S2 ou T2, et des variétés "concrètes", comme l'ensemble des points x²+y²+z²=1 dans R^3. Il est claire que la variété concrète est dans R^3 par définition, et ne peut pas se voir autrement.

Mais ce n'est pas S2 comprise comme variété abstraite, c'est une variété homéomorphe à S2, ou encore un plongement de S2 dans R^3.

La notion de "vu comme 2D" n'est pas si facile à voir, tant qu'on ne réalise pas ce qu'est une variété abstraite. Peut-être pour cela un exemple montrant différents plongements peut aider: la dimension 2 apparaît alors comme une propriété commune. Les plongements du tore dans R^4 et dans R^3 sont assez différents peut-être pour aider? (Le tore "abstrait" correspond plus ou moins aux propriétés communes...)

[invite02232301]

Bonjour,
Je voudrais juste répondre a ce message, parce qu'il me semble qu'une petite clarification serait de bon aloi.

Ah bon ? Donc, si j'équipe la sphère S2 de (disons) la topologie discrète ainsi que le tore, vu qu'ils ont même topologie (la topologie discrète), cela veut dire qu'ils ont même homotopie ?????

Je suis surpris. Je vais vérifier ce soir.

En soi cette phrase est un peu absurde, si on équipe la sphère ou le tore de la topologie discrète alors... ça n'est plus la sphère ou le tore. En l'occurrence la "sphère"(c'est a dire l'ensemble des points de R3 satisfaisant x2+y2+z2=1) équipée de la topologie discrète c'est juste un "nuage de points épars" et le qualifier de sphère n'a pas trop de sens.

En fait j'ai l'impression que vous ne réalisez pas que quand on parle de la sphère, du tore etc... on parle de bien plus qu'un ensemble. Quand on parle de la sphère on sous entend déjà sa structure d'espace topologique, et bien souvent sa structure différentiable également. Sinon on est purement en théorie des ensembles et on ne parle pas de sphère ou de tore, ce sont le même ensemble.
Bref la sphère a déjà une topologie. Et ça m'amène a mon second point.

Ce n'est pas parce que deux objets sont différents du point de vue métrique qu'ils ne peuvent pas avoir même topologie et même géométrie.

Au passage cette phrase n'a pas grand sens, qu'est ce que c'est avoir la même géométrie? Il y a 10 000 façons d'interpréter cela. Et notamment une disant le contraire de ce que vous voulez dire.

Ah oui, il y a quand une confusion là dedans. Ici, au début, je parlais de la définition d'une topologie sur un ensemble (topologie générale) mais ici je parlais de propriétés topologiques (topologie algébrique et différentielle). C'est énervant ça quand il y a le même terme pour deux choses. Faudrait que je fasse attention lorsque je prononce le mot "topologie".

Justement, il n'y a pas deux mots pour la même chose.
La topologie general s'occupe de définir la notion d'espace topologique, et de donner leur propriétés communes.
La topologie algébrique (ou différentielle) en est une sous branche qui s'occupe d'etudier une classe particulière d'espace topologiques, moralement ceux définis de manière combinatoire pour l'algebrique, et ceux intervenant en géométrie diff pour la différentielle.

Mais les objets dont s'occupe la topo alg sont déjà des espaces topologique.

Bref quand on parle du tore ou de la sphère, y a déjà une topologie dessus.
On peut ensuite encore enrichir leurs structures en y mettant une structure métrique par exemple et la il faut préciser parce qu'on obtient en general des objets différents (dans la catégorie enrichie) et c'est bien pour ça qu'on fait la différence entre tore plat et non plat. Ce sont deux enrichissement du tore (topologique) qui sont différents.

Au passage être homéomorphe implique avoir le même type d'homotopie (on dit sue deux espaces ont le même type d'homotopie quand il existe deux applications f et g de l'un vers l'autre et de l'autre vers l'un qui soient inverse l'une de l'autre a homotopie près.

[Deedee81]

Salut,

En soi cette phrase est un peu absurde, si on équipe la sphère ou le tore de la topologie discrète alors... ça n'est plus la sphère ou le tore. En l'occurrence la "sphère"(c'est a dire l'ensemble des points de R3 satisfaisant x2+y2+z2=1) équipée de la topologie discrète c'est juste un "nuage de points épars" et le qualifier de sphère n'a pas trop de sens.

Oui, j'avais compris le coté (allez disons le) quelque peu stupide de mes explications, après les réponses. C'est seulement après en rouvrant l'article sur les homotopies que j'ai chez moi que toutes les petites cases se sont remises en place. Par exemple, quand on parle de fonction continues sur la sphère ou le tore, hé bien, oui, forcément, on a déjà une topologie. Et pas une topologie discrète !!!!

Et dire qu'il y a un mois d'ici j'avais lu un article qui disait "le langage géométrique aide l'intuition mais attention car l'intuition est souvent trompeuse dans ce domaine et il faut toujours vérifier". J'aurais dû suivre ce conseil.

Merci pour tes explications.