Combinaison - topologie

[moebius2]

Bonjour,

Voici un autre problème qui me prend la tête:

Un agriculteur possède une calibreuse assez capricieuse: une fois réglée sur une taille T (cm) elle ne peut mesurer que des tailles dans l'intervalle ]T, T+1[. L'agriculteur possède n tomates. Chacune mesure au moins 1cm. Pour qu'il puisse vendre le plus de tomates, l'agriculteur veut régler sa cailbreuse pour qu'un nombre maximum de sous-ensembles de tomates soit "calibrable". Quelle est ce nombre?

Je ne vous cache pas que de la topologie est sous-jacente à ce problème... ce qui n'est pas pour me plaire

Le résultat est attendu sous la forme d'une combinaison (avec une partie entière aussi).

Si quelqu'un maîtrise ce sujet ?

Merci
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[minushabens]

Je pense qu'il faudrait que tu expliques un peu plus en détail le fonctionnement de la calibreuse. Qu'est-ce qu'un ensemble calibrable?

[moebius2]

Seront "calibrables" les tomates qui auront une taille dans les intervalles ]T;T+1[, à mon sens.

[minushabens]

Donc un églage de la machine détermine un certain sous-ensemble (?) Je ne vois pas alors ce que tu entends par "nombre maximum de sous-ensembles". Je dirais que ce nombre est 1 quel que soit le réglage...

[A voir en vidéo sur Futura]

[moebius2]

Voici le problème sous sa forme mathématique:

[minushabens]

J'ai l'impression que le maximun est C(n,n/2) : le nombre de combinaisons de n/2 éléments parmi n (si n est impair prendre la partie entière de n/2). En effet si tu prends les xi très proches les uns des autres, les sommes de n/2 éléments seront très proches, assez pour être dans un même intervalle de longueur 1. Je ne vois pas comment on peut faire mieux.

[moebius2]

Merci.

En effet, c'est le théorème de Sperner

http://fr.wikipedia.org/wiki/Famille_de_Sperner

[gg0]

Bonjour.

Avec la même idée, par exemple , toutes les sommes sont dans [1,2[, donc c'est exactement le nombre de sommes. mais certaines sommes sont égales. Il est possible de remplacer par une expression qui fera que toutes ces sommes sont différentes (*). Dans ce cas, le nombre de sommes est le nombre de choix des ; chaque choix donne une application de [1 .. n] dans {0;1} donc on obtient le nombre d'applications qui est ...
Et comme on ne peut avoir plus, c'est bien le maximum.

Cordialement.

NB : Le problème mathématique n'a pas trop de rapport véritable avec le premier sujet (sauf capillotracté).

(*) je te laisse le plaisir de trouver