Décomposition en orbites

[bambar]

Bonjour à tous,

Je suis confronté à une correction que je ne comprends pas.



Enoncé: On pose F_p=(Z/pz), pour tout nombre premier p.

On considère l'action du groupe G := GL₂(F_p) sur F_p² par :



∀g∈G ∀x∈F_p², g.x:=g(x)



Question: Montrer que F_p² se décompose en 2 orbites



Réponse: F_p²={(0 0) U G.(1 0) }



Qui peut prendre le temps de m'expliquer ce résultat?



Merci d'avance.
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[Garf]

Bonjour,

Si c'est vraiment une correction, il devrait y avoir plus de détails (ou alors elle est mal faite)...

Enfin. Une orbite pour l'action d'un groupe sur un ensemble est une classe d'équivalence : pour tous et dans , on pose si et seulement si il existe tel que .

Ici, est une orbite. En effet, tout élément de est par définition inversible, donc si et seulement si .

Il reste à montrer qu'il n'y a qu'une seule autre orbite. Cela revient à dire que pour tous et non nuls, . Ou encore (par transitivité) que pour tout non nul, . Bref, on veut montrer que pour tout non nul, il existe tel que . D'un point de vue matriciel, cela veut dire qu'on est capable de trouver une matrice inversible dont la première colonne est .

Soit non nul. On veut trouver un non colinéaire à ; alors la matrice dont les colonnes sont et sera inversible, et enverra sur . Or il y a éléments dans , et seulement d'entre eux sont colinéaires à . Il y a donc éléments non colinéaires à , ce qui prouve qu'on peut bien en trouver un.

[bambar]

Hey merci Garf!
En effet j'ai trouvé cette "correction" sur le cahier d'un autre élève.

On a trouvé que G(1,0) est une orbite mais on aurait pu dire de même pour G(2,0) ou G(0,1) par exemple. Je me trompe?