Développement limité

[Fake012]

Bonjour à tous!
J'ai un petit problème concernant un exercice de physique statistique:
J'ai calculé l'énergie de vibration d'un certain système et je dois maintenant étudier le comportement de cette énergie dans la limite haute température donc pour Bhw<<1 où B=1/kT
J'ai fait un développement limité au premier ordre sans aucuns problèmes mais en ce qui concerne le second ordre j'ai un peu de mal, je ne suis pas sûre de ce que j'ai fait...
Je dois trouver une expression du type E~ kT+C*hw où je dois déterminer C


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[Fake012]

Il n'y a vraiment personne pour m'aider...?

[gg0]

Pour l'instant, on ne peut pas lire ta pièce jointe : " Pièces jointes en attente de validation"

[Fake012]

Merci de t'être dévoué pour me préciser ce "petit" détail
L'image de mon coté s'affiche très bien donc je retente le coup:

[A voir en vidéo sur Futura]

[Fake012]

J'abandonne vous pouvez supprimer le topic je ne comprends pas pourquoi ma photo ne veut pas s'afficher...

[gg0]

Cette fois-ci, elle s'affiche, de travers !

Sinon, je ne comprends pas trop comment tu calcules, en particulier pourquoi tu fais tardivement un DL que tu pouvais faire tout de suite; en plus, ce n'est plus la bonne quantité qui intervient.
Tu ferais mieux de poser x=Bhw, et de faire directement un DL à l'ordre 2 ce qui nécessite de faire au moins un DL de l'exponentielle à l'ordre 1 en haut (et 2 en bas), puis on fait une division par puissances croissantes.
Si tu n'aimes pas la division, tu peux faire apparaître un x en haut, simplifier, puis procéder par multiplication du DL de l'exponentielle par le DL de 1/(1-u) avec u=x/2.

Cordialement.

[Fake012]

Aahhh enfin!
Ben j'ai effectivement fait un dl d'ordre 1 en haut et d'ordre 2 en bas (à la 5ème ligne) et ensuite j'ai simplifié par hw et... Je viens à l'instant de voir que j'ai fait une erreur de calcul en simplifiant... Mince! Bon je vais tout refaire et je reviens ^^

[Fake012]

Précédemment je m'étais trompé en factorisant par B au lieu de hw donc voici la version "recorrigé" et pour la suite je pense que c'est bon mais je ne sais pas comment en découdre pour obtenir la forme kt + C*hw

[Fake012]

Bon je devine que mon image n'est toujours pas visible donc je vais la faire "à l'ancienne"...

>Au 1er DL j'ai donc: E=hw/2 + hw/(Bhw-(Bhw)²/2)

>Je factorise par hw: E= hw/2 + 1/(B-B²hw/2) -> c'était à cette étape que je m'étais trompée précédemment

> Je fais un 2ème DL: E= hw/2 + 1/B*(1+Bhw/2 +(Bhw)²/2 + (Bhw)^3/12) -> Je dvlp jusqu'au 3ème ordre car le B^3 va se simplifier

> J'obtiens donc: E= hw/2 +1/B + hw/2 +(Bhw)*hw/2 + (Bhw)²*hw/12
= hw +1/B +(Bhw)*hw/2 + (Bhw)²*hw/12

Et là je bloque!

[untruc]

c'est pas términé là?

genre tu viens d'écrire
E= hw +1/B +(Bhw)*hw/2 + (Bhw)²*hw/12
et tu dis que 1/B>> hw
et bhw<<1
du coup ca fait
E= 1/B + hw + o(hw) (*)

la partie hw + o(hw) est << 1/B, donc E~ kT.

donc tu as 1/B comme premier ordre, hw à l'ordre suivant. et le reste c'est des o(hw)
peut etre tu t'attendais à trouver que des puissance de 1/B? Mais en fait si tes calculs sont bon, le résultat (*) est un dev limité acceptable.

maintenant je ne connais pas cette physique statistique.

[Fake012]

Justement la limite kT c'est le résultat que l'on trouve au premier ordre: en faisant le dvlpt on finit par tomber sur E~kT+hw et le "hw" s'élimine avec la condition: kT>>hw.
Mais là on nous demande de trouver un résultat plus précis sous la forme kT+C*hw où l'on doit déterminer le coefficient C et je doute que celui-ci vaille 1 car sinon on se mord la queue....

[untruc]

là je ne suis plus. Ton calcul à l'air juste, tu as trouvé C=1.
tu as trouvé E= kt + hw + o(hw).
J'ai un développement limité de E
à l'ordre kT
puis l'ordre hw,
puis o(hw).
je ne vois pas ce que tu veux de plus.

[Fake012]

Ben je cherche un coefficient C différent de 1 quand on fait un développement au 2nd ordre car C=1 c'est le résultat que l'on trouve quand on fait un développement au 1er ordre

[gg0]

Pourquoi le développement au deuxième ordre changerait-il le terme d'ordre 1 obtenu comme un simple négligeable ? C'est le cas le plus fréquent, mais ça n'a rien d'une obligation.
Quand un calcul justifié donne un résultat inattendu, c'est le résultat du calcul qui est bon.


Cordialement.