multiplication de matrices symétriques

[christophe_de_Berlin]

bonjour,

je suis curieux de savoir si la multiplication dans l´espace des matrices carrées symétriques est commutatif.

Normalement cette opération devrait être symétrique, puisque toute matrice symétrique est diagonalisable, et que donc on peut réduire le deux matrices en question au produit de deux matrices diagonales, qui lui est commutatif.

Y a-t-il une erreur dans ce raisonnement?

Merci d´avance

[homotopie]

Il y a un défaut dans le raisonnement : certes ces matrices sont diagonalisables mais dans le cas général dans des bases distinctes.
En fait le produit de deux matrices symétriques n'est pas nécessairement symétriques.

Le produit dans l'autre sens est la symétrique de ce produit.
On a par contre deux matrices symétriques commutent ssi leur produit est symétrique. (la transposée inverse l'ordre des produits)

[rvz]

Salut,

Eh oui, il y a une erreur :

Une remarque juste. Tu n'utilises pas base orthonormale. Du coup, si c'était vrai, pour toutes les matrices diagonalisables, le produit serait commutatif. Or l'ensemble des matrices diagonalisables est dense dans l'ensemble des matrices, donc le produit matriciel serait commutatif...
Tout ça pour dire qu'il faut faire gaffe à la multiplication matricielle, et si tu as un doute, revient à la définition : Soit c'est facile, soit c'est faux ...

Maintenant, un petit contre-exemple pour prouver ce que je dis :
A =
2 1
1 1
B =
1 1
2 1

Tu peux constater que AB est différent de BA.

EDIT : Grillé par homotopie
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rvz

[christophe_de_Berlin]

bon ben merci, mais franchement j´ai pas de chance...

[rvz]

bon ben merci, mais franchement j´ai pas de chance...

Ba pourquoi

Au contraire, si c'était trop facile, t'aurais pas à réfléchir, et ça, ce serait vraiment pas de chance

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rvz

[christophe_de_Berlin]

Ba pourquoi

Au contraire, si c'était trop facile, t'aurais pas à réfléchir, et ça, ce serait vraiment pas de chance

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rvz

Merci de ta consolation. C´est vrai que c´est chouette de chercher, mais trouver c´est pas mal non plus.