Algèbre linéaire L2 matrices

[nico04]

Bonjour,

J'aimerais savoir si ce que j'ai fait jusqu'à présent est correct :


Soient e une base canonique de R⁴ et f une base canonique de R³

u application linéaire de E --> F avec E = R⁴ et F = R³

on a : u(e1) = f1 + f3 ; u(e2) = -f1 + 2 f2 + f3 ; u(e3) = f1 + 2f2 + f3 ; u(e4) = -f1 + f2

1- Ecrire la matrice M = Mat(u;e,f) de u dans les bases e et f.





2. Déterminer la noyau de u, on note V = Ker u

Pour cela on cherche M.X =(0,0,0) avec X=(x1,x2,x3,x4)

x1-x2+x3-x4 = 0 | x₃=0
2x2+2x3+x4=0 | x1=-x₂
x1+x2+x3 = 0 | x₂=-x₄/2 <=> x1=x₄/2



a = (1,-1,0,2)


V = Vect(a)

3- Trouver une base v = (v_i) de V

base de V : (1,-1,0,2)
ou v₁=(1,0,0,0) ; v₂=(0,-1,0,0) ; v₃=(0,0,0,2) ? Cela revient au même je pense puisque si on fait la somme de ces 3 vecteurs on obtient celui du haut.

4- Compléter la base v en une base g de E. (remarquer que e₃ et e₄ sont indépendants de v_i)

e₃ = (0,0,1,0) et e₄= (0,0,0,1)
or ici j'ai v₃ = 2*e₄, problème ??


5- Ecrire la matrice de u dans la base g. Calculer alors W=Im u ainsi qu'une base w = w_j de W. Déduire la dimension de W (sans appliquer le théorème du rang).



Je suis bloqué à partir du 4, je ne vois pas très bien ce que je dois faire. Je ne pense pas m'être trompé lors du calcul du Ker u


Merci d'avance,
-----

[gg0]

Bonjour.

"ou v₁=(1,0,0,0) ; v₂=(0,-1,0,0) ; v₃=(0,0,0,2) ? Cela revient au même je pense puisque si on fait la somme de ces 3 vecteurs on obtient celui du haut."

Tu es vraiment sûr ? Tu n'as pas un théorème sur la tailles des bases d'un espace vectoriel ?

Je n'ai pas vérifié ta preuve sur Ker u, mais comme tu n'as pas procédé par équivalences, il y a un risque.

Cordialement.

[nico04]

Je n'ai pas trouvé un tel théorème dans mon cours mais à mon avis il faut qu'ils soient de la même dimension si on veut pouvoir exprimer tout vecteur de manière unique comme combinaison linéaire de vecteurs de cette base.

Après ker u appartient à E = R⁴
donc une base de ker u doit être aussi de dimension 4 et visiblement ici la base que j'ai donné est de dimension 3.

Il faudrait alors que je rajoute un vecteur v₄ du style : (0,0,k,0)
ainsi on aura la base v = (v)_{i (i=1,2,3,4)}

k peut être n'importe quelle valeur réelle puisqu'il faut juste que v soit libre et génératrice, c'est ça ?

[gg0]

Bonjour.

Tu n'as pas le théorème qui dit que toutes les bases d'un espace vectoriel de dimension fini ont le même nombre d'éléments ? Bizarre, car alors tu ne peux pas parler de dimension. Après ker u appartient à E = R⁴" Non ! Ker u n'est pas un quadruplet de réels. C'est un sous-espace vectoriel de E.
"donc une base de ker u doit être aussi de dimension 4 ..." Absolument pas !

Je crois que tu as besoin de reprendre ton cours d'algèbre linéaire : combinaisons linéaires, sous-espaces vectoriels, bases, dimension et le vocabulaire (plus la différence entre "appartient" et "est inclus dans".

Mais il est vrai que pour avoir une base de E, il va te falloir 4 vecteurs, linéairement indépendants.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[nico04]

En effet, en relisant maintenant je me rends compte de l'erreur. Je devais partir alors je ne me suis pas relu, je sais pourtant que ker u est un sev de E :/

Enfin bon, je ne pense pas que je dois garder V = (1,-1,0,2) alors comment dois-je le décomposer ?

Par ailleurs voici le calcul de Ker u détaillé :

Système :
x1-x2+x3-x4 = 0
2x2+2x3+x4=0
x1+x2+x3 = 0

2x1 + 2x3 -x4 = 0 : L1 + L3
x1 +x2 +3x3 =0 : L1 + L2
x1 + x2 + x3=0


2x3 = 0 <=> x3 = 0 : L2-L3

x3=0
2x1 -x4 = 0 <=> x1 = x4/2
x1 = -x2

x1=-x2 = x4/2
x3=0

a = (1,-1,0,2)

[orleans77]

Bonsoir
Tu dois avoir à ce niveau les réponses correctes, maintenant va falloir compléter le noyau avec les vecteurs la famille ainsi définie est une famille libre dans un espace vectoriel de dimension 4, elle est génératrice. L'expression de la matrice est alors facile à déterminer.

[nico04]

Bonjour,

Maintenant pour écrire la matrice de u dans la base g je dois calculer u(a) , u(e1), u(e2), u(e3) qui seront les colonnes de la matrice n'est-ce pas ?
a= (1,-1,0,2) = e1 -e2 + 2e4
u(a) = u( e1 -e2 + 2e4) = u(e1) -u(e2) + 2(ue4) = f1 + f3- ( -f1 + 2 f2 + f3 ) + 2* ( -f1 + f2 )
u(a) = (f1 +f1 -2 f1) + ( -2f2 -2 f2 ) + (f3 -f3 ) = -4 f2



W = Im u

on remarque que u(e3) = u(e1) + u(a)

=> Im u = Vect(u(a),u(e1),u(e2))
par méthode du pivot on obtient


qui est de rang 3

Vérifiable avec le théorème du rang :

dim E = 4
dim Im u + dim ker u = 3 + 1 = 4

une base w serait (e1,e2,e3)

Par contre, pourquoi a-t-on utilisé le Ker u et utilisé sa base ?

[gg0]

pourquoi a-t-on utilisé le Ker u et utilisé sa base ?

Ben ... c'est un exercice, on te fait trouver un résultat pas une autre méthode que le théorème, pour te faire apprendre les règles.
C'est à ça que sert un exercice ...

Cordialement.

[orleans77]

Bonsoir
Après avoir vérifié que la famille est bien libre, tu dois facilement remarquer que l'expression de la matrice associée à l'application dans cette nouvelle base est . Je te laisse trouver l'expression Im(u) en utilisant la nouvelle matrice.