Equation diophantienne

[OY1951]

Bonjour à tous,
Soient les trois exercices suivants :

1) Résolution de Ax+By=pgcd(A,B) , où chacun des coefficients constants A , B ,C et chacune
des variables x , y appartient à Z. Exemple : 738x+285y=3

2) Trouver un couple de polynômes u(x) et v(x) vérifiant A(x)u(x)+B(x)v(x)=pgcd(A(x),B( x)) avec
A(x)=x^6+x^5+4x^2+2x-2 et B(x)=x^5+2x^4+x^3+5x+5

3) Donner une solution particulière de 168x+117y+26z+11t=2.

Comment résoudre à la main chacun de ces exemples.
Merci d'avance.
Cordialement.
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[JPL]

Lis http://forums.futura-sciences.com/ma...ces-forum.html et mets-le en application.

[eudea-panjclinne]

Les deux premiers sont résolus par l'algorithme d'Euclide étendu aux coefficient de Bezout.
Pour trouver une solution particulière du dernier placez-vous dans les congruences modulo un des coefficients...

[OY1951]

Bonjour ,

"Les deux premiers sont résolus par l'algorithme d'Euclide étendu aux coefficient de Bezout.
Pour trouver une solution particulière du dernier placez-vous dans les congruences modulo un des coefficients..."

Merci des indications . Donc pour l'exercice 1 cela donnera

........738.....285.....168... ..117.....51.....15.......6... ..3
....................2......... 1........1........2.......3... .....2
...................-2.........3.......-5.......13...-44 ....(101)
..............................-1........2........-5....17.....(-39)

et donc on a bien 738(-39)+285(101)=3 (car pgcd(738,285)=3)
Pour les deux autres je chercherai leurs solutions plus tard.
Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[OY1951]

Bonjour,

En synthétisant plus profondément on peut réduire les calculs à trois lignes seulement.En effet on a
........738.....285.....168... ..117.....51.....15.......6... ..3
....................2......... 1........1........2.......3... ....2
.................(101)...(-39).....23......-16.....7.......-2
Cordialement.

[OY1951]

Bonjour,
recherche de la solution particulière de 168x+117y+26z+11t=2. Puisque dans cette équation il apparaît que 11 est premier et
donc cela facilitera cette recherche . On posera donc x=0 et y=0 et par conséquent 26z+11t=2 d'où le tableau
....26.....11.....4......3.... .1
..............2......2......1
..............7.....-3.....-1
et alors on a en définitif x=0 , y=0 , z= - 6 et t=14 car le pgcd(26,11)=1
Cordialement.

[OY1951]

Bonjour ,

Pour le second exemple , la solution est donnée en deux étapes :
1ère étape : divisions euclidiennes dans un tableau d'O.R.
(Méthode d'O.R. **** PUB **** ) comme suite

...-2......2.......4......0......0 ......1......1......*..1...*.. ..1...*...1...*...1...*....1
....3......2......-1......1......1.....-1......1.....*..2....*....1... *..-1..*...0...*....1
............5.......5......0.. ....1......2......1......*..1. ..*...-1...*....0..*..-1
............2.......0.....-1......1......1......1.....*.. 0....*....2...*....2
.....................3......2. ....-1......1......1.....*..5....*. ...3
....................-1......0......1......2......1
.............................2 ......0.....-1......1
.............................1 ......1.....-1......1
.............................0 .....-1......0......1
............................(0 )...(0).....1.....1 http://forums.futura-sciences.com/im...ies/worthy.gif

On relève de ce tableau pgcd(A(x);B(x))=x+1 qui est atteint à la suite de quatre divisions successives;

2)Passons à la seconde étape : détermination de u(x) et v(x). On effectue les produits des polynômes
sur un tableau d'O.R. comme suite

.............................. .......................1...... ..
.............................. .0...........1.............-1........*......-1......*.......-1......*.......-1
.....................0.......-1...........1..............1.. ......*......-2......*.......-1......*........1
..........0.........2.......-1..........-2............-1 coefficients de u(x)
..........1........-2........0...........1........ ......1 coefficients de v(x)

Ainsi on obtient u(x)=-x^3-2x^2-x+2 et v(x)=x^4+x^3-2x+1

Avant de les reporter ici , ces calculs ont été effectués sur un tableau blanc et ce en 8mn43s :
j'ai utilisé mon propre schéma que j'ai appelé "SCHEMA D'OURAGH". Ce schéma n'est autre qu'une méthode
synthétique de l'algorithme d'EUCLIDE étendu. Il est vrai que ce schéma exige une bonne maîtrise de
la méthode d'O.R.

Cordialement.

[cailla-mass]

Ça c'est géniale!