décomposition en "différence de carrés uniques"

[geometrodynamics_of_QFT]

Bonjour,

j'aimerais poursuivre un raisonnement lié à la factorisation d'un entier naturel.
Mais j'aimerais d'abord obtenir l'aval de la communauté pour la première étape du raisonnement.

Le théorème de l'arithmétique dit que tout entier naturel peut s'écrire comme le produit de nombres premiers (élevés à la bonne puissance ou bien factorisés d'autant, peu importe).

Je m'intéresse ici à un cas particulier beaucoup plus simple :
On nous donne l'aire entière d'un rectangle, et on veut en trouver les côtés.
autrement dit, le postulat de départ est que le nombre qu'on veut factoriser, au sens du théorème ci-dessus, est un co-prime, càd un produit de deux nombres premiers, il n'a donc que deux facteurs. (on néglige les effets de bord de type "un carré est un co-prime", on considère le cas usuel N=pq avec p > q >= 2)

Dans ce sens donc, Si on nous donne la valeur d'une aire entière () et qu'on nous dit que c'est celle d'un rectangle, il n'y a qu'une seule solution pour le choix des côtés.

Bon, c'est la première étape.

Car par simple construction, si N=pq, où p et q sont premiers avec p>q, alors, on peut trouver leur valeur moyenne (on définit A=Moyenne=(p+q)/2, où (p+q) est pair) et l'écart par rapport à laquelle les deux facteurs p et q se trouvent (on définit B=Ecart=(p-q)/2 où (p-q) est pair)
A et B sont donc des entiers naturels, tout comme p et q. (A > B)

on peut exprimer p et q en fonction de la moyenne et de l'écart de manière naturelle : p = moyenne + ecart = A + B, et q = A - B.

Comme N=pq = (A+B)(A-B)
Alors
N = A²-B², et ce de manière unique!

A ce stade, j'en suis donc à
"trouver les côtés entiers d'un rectangle d'aire entière (co-prime) donnée"
revient à
"trouver deux carrés dont la différence des aires est l'aire entière (co-prime) donnée"

Ma question est : est-ce que cela est rigoureux? (est ce qu'on peut de manière 100% rigoureuse poursuivre la raisonnement sur base de cette dernière affirmation? càd abandonner l'idée de trouver les deux facteurs premiers, mais se concentrer sur les carrés?

Je vous remercie
-----

[gg0]

Bonjour.

Pas de problème. C'est même une idée classique, utilisée dans des méthodes de factorisation de grands nombres (inutile de supposer p et q premiers, seulement que p est un diviseur). Tu peux regarder cet article de Pour la science de 1998 (p 95).

Cordialement.

[geometrodynamics_of_QFT]

J'imagine que vous me voyez directement venir avec l'identité remarquable A²-B² = Re{ (A+iB)² }...
L'algèbre complexe va naturellement intervenir dans le problème!

[gg0]

Pourquoi pas ? Bien que je ne sais pas trop ce que tu appelles "l'algèbre complexe". En général, on dit "les nombres complexes". On verra ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[geometrodynamics_of_QFT]

Bonjour.

Pas de problème. C'est même une idée classique, utilisée dans des méthodes de factorisation de grands nombres (inutile de supposer p et q premiers, seulement que p est un diviseur). Tu peux regarder cet article de Pour la science de 1998 (p 95).
Cordialement.

Merci pour l'article.
Il est évident que ce problème est lié
- en application, à la cryptographie à clé publique
- au niveau fondamental, au problème P=NP ainsi qu'à l'hypothèse de Riemann pour la distribution des nombres premiers.

Mais je commence en bas de l'escalier et considère le problème de manière simple, pour essayer de débroussailler une piste à la racine du problème (mais qui en effet semble déjà avoir été empruntée...

J'ai vu en effet dans votre article à la page 9, qu'il utilise la différence de deux carrés.
En revanche, mon approche s'en écarte déjà ici :

comme je le disais dans mon post précédent, le nombre complexe (A+iB) referme peut-être des secrets inexplorés!

[geometrodynamics_of_QFT]

Pourquoi pas ? Bien que je ne sais pas trop ce que tu appelles "l'algèbre complexe". En général, on dit "les nombres complexes". On verra ...

En mathématiques, et plus précisément en algèbre générale, un corps commutatif est, en simplifiant, une structure dans laquelle il est possible d'effectuer des additions, des soustractions, des multiplications et des divisions.
Des exemples élémentaires de corps commutatifs sont le corps des nombres rationnels noté ℚ (ou Q), le corps des nombres réels noté ℝ (ou R), le corps des nombres complexes noté ℂ (ou C) et le corps ℤ/pℤ des congruences modulo p où p est un nombre premier, noté alors également ��p (ou Fp).

(source)

un nombre complexe, c'est un élément d'un groupe (algébrique)

mais je voulais simplement distinguer avec l'analyse complexe...

[geometrodynamics_of_QFT]

Car, c'est un peu une "transfromation de phase" :

N = N(p, q) = pq vers N = N(A, B) = Re{ (A+iB)² }

de la phase "produit de facteurs (entiers (premiers))" à la phase "différence de carrés (entiers (NON NECESSAIREMENT PREMIERS) + 2iAB"

cette transformation doit sûrement contenir une information nouvelle? (pitié que l'idée jaillisse)

[geometrodynamics_of_QFT]

voilà!! intuitivement l'information que renferme cette transformation :

on passe de deux nombres premeirs à deux nombres "pas néccessairement" premiers.

entre guillemets car à l'époque où j'avais entrepris cette recherche de manière plus intensive, j'avais fait des tables Excell où je voyais que des nombres intermédiaires, dans des constructions géométriques simples, avaient un pattern de factorisation assez constant : 2-3 très petits premiers, élevés à des puissances plutôt hautes, et quelques "grands" facteurs (à la puissance 1) qui revenaient souvent (JAMAIS de facteurs intermédiaires)..ça m'avait frappé..

donc la transformation encode de l'information sur un passage (premier, premier) à (presque premier, presque premier) en quelque sorte.

(je raisonne en live là...)

[geometrodynamics_of_QFT]

Je ne sais pas pourquoi, mais j'ai le sentiment que c'est énorme! je veux dire...c'est incroyable!!!

[geometrodynamics_of_QFT]

Je propose ici un interlude analytique, en passant à la limite continue.

soit N=XY un nombre co-prime (entier premier), avec X et Y facteurs premiers de N.
Soit x un réel strictement positif.

on définit y(x) = N/x de R dans R donc.

y(x) aura une valeur non-entière PARTOUT sauf en x=X et x=Y.
(cela suggère déjà la possibilité d'une origine quadratique du problème (alors que la fonction y(x) de l'est pas) (2 solutions))

(oui, j'ai dit que l'associativité avait une origine quadratique? excusez-moi ce n'était pas vraiment ça... )

de même, par N = A²-B², on définit ou

proposition: l'intersection de ces deux courbes est au point , où est le nombre d'or...(ben oui j'étais sur le .... aussi en le voyant!!!)

on voit qu'en faisant , ça foire...
j'y reviens demain, petit soucis de calcul là..mais je sais que j'arrivais à une équation style nombre d'or, genre (5x²-4x+1=0), et dont les solutions étaient liées au nombre d'or...j'y reviens demain c'est franchement palpitant! (distribution des nombres premiers, factorisation (probleme NP), nombre d'or!!! tout ça réunis dans un cadre d'algèbre complexe et d'analyse géométrique)

qui jusque là, je le redemande, est-il toujours cohérent?

[geometrodynamics_of_QFT]

J'aurais aimé pouvoir changer le titre du fil en "(Re)découvertes" :-p ou "-discussions coniques sur un rectangle de côtés premiers"

[gg0]

Bon !

Tu as fait un calcul faux (ce n'est pas évident en te lisant) et tu n'as encore rien trouvé. Il serait quand même mieux que tu travailles sur tes sujets en vérifiant ce que tu fais, avant de venir proclamer des découvertes extraordinaires ... fausses.
Quant au nombre d'or, il apparaît dans certains calculs, en particulier quand un nombre est solution de l'équation qui le définit

[geometrodynamics_of_QFT]

moi au noins je calcule! cfr prix ronds forum math lycee...
une faute où? c est gentil de me le dire, mais sans preciser c est facile

[geometrodynamics_of_QFT]

Pourquoi pas ? Bien que je ne sais pas trop ce que tu appelles "l'algèbre complexe". En général, on dit "les nombres complexes". On verra ...

ca en dit long

[gg0]

une faute où? c est gentil de me le dire, mais sans preciser c est facile

Trouver une intersection entre deux courbes qui ne se coupent pas. Mais je croyais que tu t'en étais rendu compte "ça foire".

[geometrodynamics_of_QFT]

elles se croisent, sans la faute d innatention :
B^2(x)=x^2 - N
et non N-x^2

merci pour l avoir relevee

[geometrodynamics_of_QFT]

Alors, elle ne se croisent pas? et n'ont pas de lien avec le nombre d'or?

en plus, c'est seulement maintenant que ça va devenir croustillant...ici je ne fais que poser le cadre dans lequel je vais développer ma réflexion...

"la fractionnalisation algébrique comme opération géométrique..."
laissez-moi 30min le temps de retranscrire tout ça...

[geometrodynamics_of_QFT]

Suivant cette représentation graphique de ce qui a été dit jusqu'à présent, g(x)=B(x), et "A" définit comme " et "B" comme , de sorte que N = B²-K² (c'était ma notation initiale jadis).

Le problème étant symétrique, on se limite au domaine

Comme dit plus haut, f(x) n'est entière qu'en un seul point x = X.
De la même manière, g(x) n'est entière qu'en un seul point

on peut donc "avoir l'idée" de relier ces deux points par un segment, qui sera dont l’hypoténuse d'un triangle rectangle de côté entiers (puisque séparant deux points entiers".

Par conséquent, le carré de la longueur de ce segment est un entier, et donc, sa longueur aussi!

Est-ce correct jusqu'à présent?

PS : le point d'intersection est un "anecdote" dûe, comme c'était dit, aux deux courbes arbitraires considérées qui fournissent l'équation du nombre d'or. Par contre, ces deux courbes ne sont en fait pas arbitraires : elles représentent deux façons différentes, et uniques, d'exprimer un produit de deux nombres premiers.....
Le lien entre nombre d'or et factorisation n'est donc pas trivial... : on peut très bien considérer ce point d'intersection dans les constructions géométriques, et ainsi définir des segment dont une extrémité a des coordonnées irrationnelles (point d'intersection), et l'autre, des coordonnées entières (point particulier sur la courbe).

trouver les facteurs donc, revient à trouver les points x tels que la longueur d'un segment construit vérifie certaines contraintes sur la nature 'algébrique) de sa norme...

[ansset]

Par conséquent, le carré de la longueur de ce segment est un entier, et donc, sa longueur aussi!

Est-ce correct jusqu'à présent?
.

je n'ai lu que ça, vite fait, et c'est faux.
ce n'est pas parce que le carré d'un nb est entier que celui ci l'est !( 47 est entier mais pas rac(47))
ou alors j'ai rien pigé à la démo qui me semble assez tordue.

[geometrodynamics_of_QFT]

En fait, "l'espace de phase (B,K)" correspond à une rotation de +45° des axes (x,y), la symétrie est cette rotation : on voit que dans cet espace (B,K), la conique N/x devient et inversément : en prolongeant les coniques dans les 4 quadrants, il y a en tout 4 points d'intersection.

si on revient au 1er quadrant:
Bien sûr, tester tous les points x (entiers, histoire de gagner du temps) qui fournissent un f(x) entier, revient au problème non-polynomial de la factorisation.

mon but étant de trouver une méthode géométrique (si possible graphique) qui respecte les contraintes de naturalité des points (en fait, DU point , vu le domaine considéré) qui sont solution.

On voit sur la photo ci-dessous que la méthode de chercher analytiquement les points x qui donnent une valeur entière de f(x) fait intervenir la fonction partie entière, qui est-elle même à la base de la définition de la fonction zeta de Riemann (par la formule d'Euler-Mac Laurin).

Il serait donc préférable de trouver une méthode de résolution géométrique...si l'ont veut contourner le problème de la fonction partie entière...

[geometrodynamics_of_QFT]

je n'ai lu que ça, vite fait, et c'est faux.
ce n'est pas parce que le carré d'un nb est entier que celui ci l'est !( 47 est entier mais pas rac(47))

euh...c'est tellement gros que j'en viens à douter mais...rassurez-moi : si le carré d'un nombre est entier, alors ce nombre est entier non?

[geometrodynamics_of_QFT]

Suivant cette représentation graphique de ce qui a été dit jusqu'à présent, g(x)=B(x), et "A" définit comme " et "B" comme , de sorte que N = B²-K² (c'était ma notation initiale jadis).

Rectification : 'A" est définit comme et "B"est définit comme

La "relation triviale" (le problème admet 2 solutions, dont une Triviale : N = pq = 1.N) a été notée , , , ,

Et oui donc voilà le "trick" géométrique : si on trace les deux segments relatifs à ces deux solutions (la triviale et la recherchée), il ont FORCEMENT des caractéristiques communes!! (liées au nombre d'or?)
Est-ce correct?

Le but étant de démontrer l'utilisation du mot "forcément"

[Médiat]

Bonjour,

Votre fil est illisible, pourriez-vous rédiger correctement, sous forme d'un pdf et ne le poster qu'une fois corrigé "définitivement".

[geometrodynamics_of_QFT]

Le segment trivial est noté sur le dessin, et le segment solution noté

[geometrodynamics_of_QFT]

Bonjour,

Votre fil est illisible, pourriez-vous rédiger correctement, sous forme d'un pdf et ne le poster qu'une fois corrigé "définitivement".

Ok je rassemble tout en un seul post, d'ici 10min.

[Tryss]

euh...c'est tellement gros que j'en viens à douter mais...rassurez-moi : si le carré d'un nombre est entier, alors ce nombre est entier non?

Non : le carré de racine de 2 est entier, mais racine de 2 n'est pas entier

[geometrodynamics_of_QFT]

Bonjour,

j'aimerais poursuivre un raisonnement lié à la factorisation d'un entier naturel.
Mais j'aimerais d'abord obtenir l'aval de la communauté pour la première étape du raisonnement.

1. Définition du problème
Le théorème de l'arithmétique dit que tout entier naturel peut s'écrire comme le produit de nombres premiers (élevés à la bonne puissance ou bien factorisés d'autant, peu importe).

Je m'intéresse ici à un cas particulier beaucoup plus simple :
On nous donne l'aire entière d'un rectangle, et on veut en trouver les côtés.
autrement dit, le postulat de départ est que le nombre qu'on veut factoriser, au sens du théorème ci-dessus, est un co-prime, càd un produit de deux nombres premiers, il n'a donc que deux facteurs. (on néglige les effets de bord de type "un carré est un co-prime", on considère le cas usuel N=pq avec p > q >= 2)

Dans ce sens donc, Si on nous donne la valeur d'une aire entière () et qu'on nous dit que c'est celle d'un rectangle, il n'y a qu'une seule solution pour le choix des côtés.

sur base de ce raisonnement géométrique, par simple construction, si N=pq, où p et q sont premiers avec p>q, alors, on peut trouver leur valeur moyenne (on définit B=Moyenne=(p+q)/2, où (p+q) est pair) et l'écart par rapport à laquelle les deux facteurs p et q se trouvent (on définit K=Ecart=(p-q)/2 où (p-q) est pair)
A et B sont donc des entiers naturels, tout comme p et q. (B > K)

on peut exprimer p et q en fonction de la moyenne et de l'écart de manière naturelle : p = moyenne + ecart = B+ K, et q = B - K.

Comme N=pq = (B+K)(B-K)
Alors
N = B²-K², et ce de manière unique!

En tout généralité, rien ne nous empêche d'exprimer N comme où désigne la partie réelle d'un nombre complexe. L'algèbre complexe intervient donc naturellement (=rien ne nous empêche) dans le problème!

A ce stade, j'en suis donc à
"trouver les côtés entiers d'un rectangle d'aire entière (co-prime) donnée"
revient à
"trouver deux carrés dont la différence des aires est l'aire entière (co-prime) donnée"

Il est évident que ce problème est lié
- en application, à la cryptographie à clé publique
- au niveau fondamental, au problème P=NP ainsi qu'à l'hypothèse de Riemann pour la distribution des nombres premiers, comme montré ci-dessous.

2. Passage à la limite continue

Je propose ici un interlude analytique, en passant à la limite continue.

soit N=pq un nombre co-prime (entier premier), avec p et q facteurs premiers de N.
Soit x un réel strictement positif.

on définit y(x) = N/x de R dans R donc.

y(x) aura une valeur non-entière PARTOUT sauf en x=p et x=q, x = N et x = 1. (2x2 solutions symétriques (par associativité) : 2 recherchées et deux triviales).
(cela suggère déjà la possibilité d'une origine quadratique du problème (alors que la fonction y(x) de l'est pas) (2 solutions))

(oui, j'ai dit que l'associativité avait une origine quadratique? vraiment? erreur de raisonnement ou est-ce correct de le dire?)

de même, par N = B²-K², on définit ou

proposition: l'intersection de ces deux courbes est au point , où est le nombre d'or...(ben oui j'étais sur le .... aussi en le voyant!!!)

En effet, on voit qu'en faisant , on obtient une équation style nombre d'or, genre (5Nx²-4Nx+1=0), et dont les solutions sont liées au nombre d'or...je n'en discute pas plus ici ce n'est pas (encore l'objet)

3. la fractionnalisation algébrique comme opération géométrique

photo graphe.jpg

La photo ci-dessus montre la représentation graphique de ce qui a été dit jusqu'à présent.

Le problème étant symétrique, on se limite au domaine

Comme dit plus haut, f(x) n'est entière qu'aux points x=p et x=N.
De la même manière, g(x) n'est entière qu'aux deux points et

on peut donc "avoir l'idée" de relier ces deux points par un segment, qui sera dont l’hypoténuse d'un triangle rectangle de côté entiers (puisque séparant deux points entiers".

Par conséquent, le carré de la longueur de ce segment est un entier, et donc, sa longueur aussi! (Est ce correct?)

Est-ce correct jusqu'à présent?

Le point d'intersection est un "anecdote" dûe, comme c'était dit, aux deux courbes arbitraires considérées qui fournissent l'équation du nombre d'or. Par contre, ces deux courbes ne sont en fait pas arbitraires : elles représentent deux façons différentes, et uniques, d'exprimer un produit de deux nombres premiers.....
Le lien entre nombre d'or et factorisation n'est donc pas trivial... : on peut très bien considérer ce point d'intersection dans les constructions géométriques, et ainsi définir des segment dont une extrémité a des coordonnées irrationnelles (point d'intersection), et l'autre, des coordonnées entières (point particulier sur la courbe).

trouver les facteurs donc, revient à trouver les points x tels que la longueur d'un segment construit vérifie certaines contraintes sur la nature (algébrique) de sa norme...

En fait, "l'espace de phase (B,K)" correspond à une rotation de +45° des axes (x,y), la symétrie est cette rotation : on voit que dans cet espace (B,K), la conique N/x devient et inversément : en prolongeant les coniques dans les 4 quadrants, il y a en tout 4 points d'intersection.

si on revient au 1er quadrant:
Bien sûr, tester tous les points x (entiers, histoire de gagner du temps) qui fournissent un f(x) entier, revient au problème non-polynomial de la factorisation.

mon but étant de trouver une méthode géométrique (si possible graphique) qui respecte les contraintes de naturalité des points (en fait, DU point , vu le domaine considéré) qui sont solution.

On voit sur la photo ci-dessous que la méthode de chercher analytiquement les points x qui donnent une valeur entière de f(x) fait intervenir la fonction partie entière, qui est-elle même à la base de la définition de la fonction zeta de Riemann (par la formule d'Euler-Mac Laurin).

Il serait donc préférable de trouver une méthode de résolution géométrique...si l'ont veut contourner le problème de la fonction partie entière...
photo deltas.jpg

La "relation triviale" (le problème admet 2 solutions, dont une Triviale : N = pq = 1.N) a été notée , , , ,

Et oui donc voilà le "trick" géométrique : si on trace les deux segments relatifs à ces deux solutions (la triviale et la recherchée), il ont FORCEMENT des caractéristiques (relations géométriques) communes!! (liées au nombre d'or?)
Le segment trivial est noté sur le dessin, et le segment solution noté
Le but étant de démontrer l'utilisation du mot "forcément"
Est-ce correct?

[geometrodynamics_of_QFT]

Non : le carré de racine de 2 est entier, mais racine de 2 n'est pas entier

ok on est d'accord, je voulais dire : "si le carré d'un nombre est entier, ce nombre est la racine carrée d'un entier", ce qui est ben sûr trivial et suffit au propos que j'avais

[geometrodynamics_of_QFT]

On peut voir le problème de façon géométrique en imaginant le segment partant de la position (comme sur le dessin), et, maintenu aux extrémités par la relation de transformation entre l'espace (x,y) et l'espace (B,K), "descend" de long de la courbe en changeant d'orientation et de longueur, passe par les 2 points "reciproques" solution recherchés (), et finit en et .

Lors de ce parcours donc, il passe par une configuration "spectaculaire" qui passe "inaperçue" : dans laquelle ses deux extrémités ont des coordonnées entières (toutes les autres configurations ne vérifient pas cette contrainte)

il passe aussi par le point d'intersection où il a une longueur nulle.

[geometrodynamics_of_QFT]

il passe aussi par le point d'intersection où il a une longueur nulle.

c'est faux, mais anecdotique par rapport au propos.