Bonjour,
j'aimerais poursuivre un raisonnement lié à la factorisation d'un entier naturel.
Mais j'aimerais d'abord obtenir l'aval de la communauté pour la première étape du raisonnement.
Le théorème de l'arithmétique dit que tout entier naturel peut s'écrire comme le produit de nombres premiers (élevés à la bonne puissance ou bien factorisés d'autant, peu importe).
Je m'intéresse ici à un cas particulier beaucoup plus simple :
On nous donne l'aire entière d'un rectangle, et on veut en trouver les côtés.
autrement dit, le postulat de départ est que le nombre qu'on veut factoriser, au sens du théorème ci-dessus, est un co-prime, càd un produit de deux nombres premiers, il n'a donc que deux facteurs. (on néglige les effets de bord de type "un carré est un co-prime", on considère le cas usuel N=pq avec p > q >= 2)
Dans ce sens donc, Si on nous donne la valeur d'une aire entière () et qu'on nous dit que c'est celle d'un rectangle, il n'y a qu'une seule solution pour le choix des côtés.
Bon, c'est la première étape.
Car par simple construction, si N=pq, où p et q sont premiers avec p>q, alors, on peut trouver leur valeur moyenne (on définit A=Moyenne=(p+q)/2, où (p+q) est pair) et l'écart par rapport à laquelle les deux facteurs p et q se trouvent (on définit B=Ecart=(p-q)/2 où (p-q) est pair)
A et B sont donc des entiers naturels, tout comme p et q. (A > B)
on peut exprimer p et q en fonction de la moyenne et de l'écart de manière naturelle : p = moyenne + ecart = A + B, et q = A - B.
Comme N=pq = (A+B)(A-B)
Alors
N = A²-B², et ce de manière unique!
A ce stade, j'en suis donc à
"trouver les côtés entiers d'un rectangle d'aire entière (co-prime) donnée"
revient à
"trouver deux carrés dont la différence des aires est l'aire entière (co-prime) donnée"
Ma question est : est-ce que cela est rigoureux? (est ce qu'on peut de manière 100% rigoureuse poursuivre la raisonnement sur base de cette dernière affirmation? càd abandonner l'idée de trouver les deux facteurs premiers, mais se concentrer sur les carrés?
Je vous remercie![]()
-----