bonjour,
pour prouver que la série de terme général x^n/n! converge simplement sur R est ce qu'on a le droit d'utiliser le théorème de d'Alembert qui revient a calculer la limite de x^(n+1)n!/(n+1)!x^n, celle ci est 0 et 0 inf a 1 donc la série converge simplement ?
je vous remercie de votre aide
Pourquoi tu n'aurai pas le droit? pour la convergence simple, x est une constante, donc il s'agit de la convergence d'une série de fonction classique
c'est bien ce que je pensais mais ce qui m'a interrogé c'est la correction de cet exercice
celle ci passe par le fait que la série de terme général de 1/n(n-1) converge et le fait que x^n/n! est un grand taux de 1/n(n-1)
et j'ai trouvé que la rédaction de tout ça est bien plus longue que en passant par le théorème de d'Alembert non ?
c'est que la pour la convergence simple que x est une constante ? ou aussi pour la convergence uniforme et normal ? dsl j'ai un peu du mal a m représenter les différence entre toutes ces notions...
Bonjour.
"un grand taux de 1/n(n-1)" ???? Revois ton cours sur les limites et les notation o(x) et O(x). Il n'y a pas de taux.
Pour ton cas de calcul, comme on ne l'a pas, difficile de répondre, mais n'importe comment, tu ne peux pas appliquer D'Alembert pour x<0.
la convergence simple est la convergence d'une série simple, pour x fixé (pas de fonction, juste une lettre dont la valeur n'est pas fixée). La convergence absolue concerne aussi les séries simples (ça peut être utile ici). Pour la convergence normale et la convergence uniforme, il s'agit de regarder ce qui se passe pour tout x d'un domaine donné. Ce qui complique la preuve, mais permet des conclusions utiles sur la fonction somme (continuité, dérivabilité, ...).
Il est probable que l'utilisation de la comparaison de | x^n/n!- note la valeur absolue) avec 1/(n(n-1)) serve à traiter une convergence normale (donc uniforme). Qui implique évidement la convergence simple (théorème de ton cours).
Cordialement.
