Exercice de dérivation

[MoonRunner]

Bonjour,

Pouvez vous me donner quelques pistes pour la résolution de cet exercice ?

Soit la fonction f de classe C2, tel que

1) Que dire de la limite de f' ?
2) Si f'' est bornée, montrer que f' tend forcément vers 0.

Je pense que pour le 1) il faut montrer que soit f' n'a pas de limite, soit elle tend vers 0, mais je n'arrive pas à le démontrer proprement ...
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[gg0]

Bonjour.

Pour le 1, il te suffit de supposer qu'il y a une limite à f', non nulle. En traduisant, puis utilisant le théorème des accroissements finis, tu pourras conclure.

Cordialement.

[MoonRunner]

Merci de votre réponse

Est -ce que cette démo convient ?

Supposons que f' admette une limite non nulle en +l'infini

donc (inégalité des accroissements finis) :

ce qui est absurde car f tend vers 0

[Universus]

Bonjour,

Soit la fonction f de classe C2, tel que

1) Que dire de la limite de f' ?
2) Si f'' est bornée, montrer que f' tend forcément vers 0.

Je pense que pour le 1) il faut montrer que soit f' n'a pas de limite, soit elle tend vers 0, mais je n'arrive pas à le démontrer proprement ...

En 1), nous avons la dichotomie suivante : soit f' tend vers un réel fini, soit f' ne tend pas vers un réel fini. Cette seconde possibilité signifie que f' « tend » vers ou qu'elle ne converge pas du tout.

Supposons que f' tende vers un réel fini. Nous pouvons alors montrer que f' est bornée supérieurement, par l'argument que tu as donné dans ton dernier message (qui n'exclut pas le cas limite l = 0) :

Supposons que f' admette une limite non nulle en +l'infini

La suite de ta démarche cependant,

donc (inégalité des accroissements finis) :

ce qui est absurde car f tend vers 0

n'est pas correcte, puisque l'inégalité des accroissements finis s'utilise dans l'autre sens (du fait que M est une borne supérieure) : .

Ce n'est donc pas une bonne supérieure que nous souhaitons avoir, mais une borne (strictement positive) inférieure sur pour x suffisamment grand. Le strictement n'est évidemment possible que si , d'où la suggestion faite par gg0 de cette hypothèse supplémentaire.


Il reste à considérer le cas « f' ne converge pas vers un réel fini ». Par un argument similaire à ce que nous venons de suggérer, nous pouvons exclure la possibilité « f' "tend" vers un infini ». Or, rien n'empêche un comportement oscillatoire frénétique menant à une absence de convergence. Cette possibilité est réalisée par certaines fonctions et revient à nier l'hypothèse faite sur f'' dans 2).

[A voir en vidéo sur Futura]

[MoonRunner]

Merci de votre réponse !

Ce n'est donc pas une bonne supérieure que nous souhaitons avoir, mais une borne (strictement positive) inférieure sur pour x suffisamment grand. Le strictement n'est évidemment possible que si , d'où la suggestion faite par gg0 de cette hypothèse supplémentaire.

Dans le cas où f(x) tend vers l, Si je fixe un , pour un x suffisament grand,

donc avec l'inégalité des accroissements finis,
ce qui est absurde car f tend vers 0

Cela est il correct ?

On arrive donc à : soit f' admet une limite qui vaut zero soit elle n'admet pas de limite (c'est le cas par exemple de la fonction f(x)= )

[Universus]

L'idée est essentiellement là ! Il reste à être un peu plus minutieux : en fixant , nous avons pour x suffisamment grand. Ainsi, il existe une constante c>0 telle que pour x et y distincts suffisamment grands, , ce qui contredit l'hypothèse « f tend vers 0 à l'infini ».

[MoonRunner]

Merci beaucoup pour la clarté et la rapidite de votre réponse