dérivé de la valeur absolue.

aze555666 · 02/03/2006 - 22h46

Bonjour.

On me dit depuis déjà un certain temps que
f :IR -> IR
x |-> |x|
n'a pas de formule pour sa dérivé, qu'il faut étudier sur IR+ d'une part, et IR- d'autre part. Ou d'autres intervalles en fonction de la valeurs absolue.

Mais j'ai trouvé: |x|/x ou x/|x| selon ce qui est le plus simple dans un calcul plus compliqué.
non seulement ça marche pour la fonction elle même, mais en plus après vérification sur quelques exemple, ça marche aussi pour les formules de dérivée d'un produit, et de fonctions composées.

Cette formules est-elle valable?
(le résonnement par injection n'étant pas très très rigoureux... je reste prudent)

Et si elle l'est, pourquoi ne l'utilise-t-on pas?

merci

ps: une fois je l'ai utilisée en exo, et ma proffe de math a été d'accord avec mon calcul. Il y a contradiction.

fderwelt · 02/03/2006 - 22h52

Bonsoir,

Ça me paraît bien... l'essentiel étant d'avoir une fonction qui vaut -1 sur tout R^-\{0}, et +1 sur tout R⁺\{0}. Et en 0 ??? Une manière assez courante de faire est de poser (abs')(0) = 0, ça prolonge pas trop mal certaines identités fonctionnelles, mais c'est un peu du bricolage.

En fait, tout se passe bien tant qu'on n'approche pas trop près de 0. Même si, par exemple, on a une suite avec alternativement des valeurs >0 et <0. Il faut bien accepter que abs est dérivable partout, sauf à l'origine.

-- françois

martini_bird · 02/03/2006 - 23h07

Salut,

pour compléter la réponse de fderwelt, au lycée (et même quelques années après), la fonction |.| est dérivable sur $]-\infty, 0[\cup]0, +\infty[$ et sa dérivée est

$\begin{array}{ccc}\mathbb{R} \backslash\{0\}& \rightarrow & \mathbb{R} \\ x&\rightarrow&\left\{ \begin{array}{ccc}1&\rm{ si }&x>0 \\ -1&\rm{ si }&x<0\end{array}\end{array}$

Cordialement.

aze555666 · 03/03/2006 - 18h09

Envoyé par martini_bird

Salut,

pour compléter la réponse de fderwelt, au lycée (et même quelques années après), la fonction |.| est dérivable sur $]-\infty, 0[\cup]0, +\infty[$ et sa dérivée est

$\begin{array}{ccc}\mathbb{R} \backslash\{0\}& \rightarrow & \mathbb{R} \\ x&\rightarrow&\left\{ \begin{array}{ccc}1&\rm{ si }&x>0 \\ -1&\rm{ si }&x<0\end{array}\end{array}$

Cordialement.

ça je le sais déjà.
Mais il faut s'enquiquiner avec des cas alors que ma formule permet de tout traiter d'un coup à condition de préciser que ce qui est dans |.| est non nul (ou de se placer sur un ensemble où il l'est).

À l'exercice que je cite, j'ai du écrire 3 fois moins que les autres

.

Merci à tous les deux pour vos réponses.

martini_bird · 03/03/2006 - 22h04

Salut,

pourvu que tu n'utilises pas ta "formule" pour x=0, pas de souci. Je faisais le rappel simplement par rapport à fderwelt qui avait je crois en tête une vraie définition de la dérivée de |.| sur IR en entier, mais au sens des distributions.

Cordialement.

Romain-des-Bois · 04/03/2006 - 12h29

Pour dériver, il suffit pas d'écrire abs(x) = sqrt(x²).

C'est une bête fonction composée, facile à dériver...

Romain

nissart7831 · 04/03/2006 - 12h52

Oui,

mais c'est une manière un peu plus compliquée de l'écrire. En effet,

Si f(x) = $\sqrt{x^2}$ , alors :

$f'(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2}}$

Ce qu'on peut d'ailleurs simplifier en :

$f'(x) = \frac{x}{|x|}$

et on retombe sur une des expressions données par aze555666.

BoudBoulMan · 21/06/2007 - 23h42

Bonjour, je me permet de compléter la fonction dérivée décrite plus haut pour démontrer que la fonction n'est pas dérivable en 0.

$f'(0) = \lim_{0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}$
Or on remarque que:
$\lim_{0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \lim_{0^+}\frac{x}{x} = 1$
$\lim_{0^-}\frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \lim_{0^-}\frac{-x}{x} = -1$
$\rightarrow \lim_{0^+} \neq \lim_{0^-} \Rightarrow \lim_{0} \rm{ n'existe pas } \Rightarrow f \rm{ n'est pas derivable en 0}$

Graphiquement, le point se trouvant en abscisse 0 est un point anguleux, il accepte deux tangentes (l'un de coefficient angulaire 1 (pour les x positifs) et l'autre de coefficient -1)

Donc on a :
$\begin{array}{cc} f'(x) \equiv &\left\{ \begin{array}{lclc} y = 1 & \rm{ si } & x\in\mathbb{R}^+_0 & {}\\ \rm{point anguleux} & \rm{ si } & x = 0 & (tg_1\equiv{y=-x}) (tg_2\equiv{y=x}) \\ y = -1 & \rm{ si } & x\in\mathbb{R}^-_0 & {} \end{array} \end{array}$