2 équations à 2 inconnues

[Rose31]

Bonjour,

Quelqu'un peut-il m'aider svp, je cherche la solution au système suivant :

3x²+9y=0
3y²+9x=0

Je suis bloquée quand je fais :
3x²=-9y =>x²=-3y
Un carré est toujours positif donc y<0 mais comment dois-je poursuivre?
x= racine de 3y ? que dois-je faire du signe négatif ?

De même pour
3y²=-9x
...
Merci d'avance de votre aide !
-----

[PlaneteF]

Bonsoir,

3x²=-9y =>x²=-3y

Tu peux poursuivre en écrivant que et en remplaçant cette expression de dans la 2e équation.


Une autre façon de procéder : Tu fais (1ère égalité) - (2e égalité), puis tu mets en facteur.


Cordialement

[ansset]

donc tu as
x²=-3y et
y²=-3x
donc déjà on voit que x et y sont négatif ou nul
après tu peux regarder ce que donne
x²-y²=-3(y-x)
mais qui est aussi une identité remarquable.

edit: croisement.

[PlaneteF]

x= racine de 3y ?

A noter aussi que compte tenu du fait que et sont négatifs, ce que tu écris là est doublement faux pour tout couple différent de .

Cdt

[A voir en vidéo sur Futura]

[Rose31]

Merci beaucoup pour vos indications !

je trouve donc les couples (0,0) et (-3,-3)

[Omega3.0]

Bonsoir,
compte tenu de la symétrie des équations je dirais que x = y et que les solutions sont
x = y = 0
x = y = -3

[PlaneteF]

compte tenu de la symétrie des équations je dirais que x = y (...)

Bonsoir,

Je suppose que la symétrie dont tu parles est l'interchangeabilité de et dans les 2 équations, ce qui assure que si est solution, il en va de même pour . Mais on ne peut pas en conclure que

Cordialement

[ansset]

le résultat est juste mais la démonstration est insuffisante.
ce n'est pas uniquement une question de symétrie
on a x²-y²=(x-y)(x+y)=3(x-y)
donc soit x=y et une seule des 2 équations initiale suffit à aboutir à x=y=0 ou x=y=-3
soit x est diff de y et donc x+y=3 ce qui est impossible car s'ils ne sont pas nuls , ils sont négatifs. ( vu plus haut )
ce qu'a oublié de signaler

[PlaneteF]

Annulé

Cdt

[Omega3.0]

Bonjour,
Je suis d’accord la symétrie des équations n’implique pas que x = y. mais ça met la puce à l’oreille.
Rien ne m’empêche de faire l’hypothèse x = y.
D’où x² + 3 x = 0. Ce qui donne comme solutions x₁ = 0 et x₂ = -3
x₁ = y₁ = 0
x₂ = y₂ = -3
Ces solutions vérifient les équations.

Je suis aussi parti de x² - y² = (x -y) (x + y) = 3(x - y) d’ou x + y = 3 et x = 3 – y.
On reporte dans y² + 3 x = 0 : d’où l’équation du second degrés x²- 3x + 9 = 0
Delta étant négatif => pas de racines réelles.
On recherche les racines complexes qui sont :
x₁ = (3 + 3^(3/2)i)/2 x₂ = (3 - 3^(3/2)i)/2

y₁ = (3 + 3^(3/2)i)/2 y₂ = (3 - 3^(3/2)i)/2
Ces solutions vérifient les équations et x = y.

[ansset]

déjà x+y=3 est à éliminer puisque les deux termes sont négatifs au départ.
donc inutile de passer par une équation du second degré au départ , sauf à chercher les racines complexes
il y a aussi l'autre piste ( indirectement donnée par Planète au mess #2 )
x²=-3y
=> x^4=9y²=9(-3)x
d'ou ( soit x nul et donc y nul par la suite)
soit x^3=-27 , c-a-d x=-3 puis y=x.
mais c'est moins propre parce qu'on a fait une implication dans la manip ( et non une <=> ), ce qui suppose que l'on verifie que le résultat soit correct.

[Omega3.0]

Bonjour,
L'énoncé ne dit pas que seules les solutions réelles sont à rechercher.
Ne pas le faire c'est traiter le problème à moitié.
Les solutions complexes sont telles que x+y=3. Elles ne sont pas égales mais conjuguées.

[ansset]

tu as raison.
mais cela m'a semblé implicite dans la présentation.
je me suis peut être trompé.
cest à Rose de nous le dire, si elle revient.......
Cdt

[izm342]

Bonjour,
Je suis d’accord la symétrie des équations n’implique pas que x = y. mais ça met la puce à l’oreille.
Rien ne m’empêche de faire l’hypothèse x = y.
D’où x² + 3 x = 0. Ce qui donne comme solutions x₁ = 0 et x₂ = -3
x₁ = y₁ = 0
x₂ = y₂ = -3
Ces solutions vérifient les équations.

Je suis aussi parti de x² - y² = (x -y) (x + y) = 3(x - y) d’ou x + y = 3 et x = 3 – y.
On reporte dans y² + 3 x = 0 : d’où l’équation du second degrés x²- 3x + 9 = 0
Delta étant négatif => pas de racines réelles.
On recherche les racines complexes qui sont :
x₁ = (3 + 3^(3/2)i)/2 x₂ = (3 - 3^(3/2)i)/2

y₁ = (3 + 3^(3/2)i)/2 y₂ = (3 - 3^(3/2)i)/2
Ces solutions vérifient les équations et x = y.

X=0 et y =0 solution apparente et évidente
Cherchons x et y différents de zéro

Au lieu d’écrire
x²=-3y
y²=-3x

Écrivez
x² =-3y
3x =-y²

Ce qui donne (si vous faites le produit) 3 x au cube=3 y au cube alors x=y (obligatoirement x=y sauf erreur de ma part)
x = y donne facilement x = -3

Je trouve trop facile, y a-t-il doc quelque chose qui m’échappe ??

Chercher d’autres racines dans ((C)) je ne vois pas pourquoi

[ansset]

tu répètes un peu ce qui a déjà été dis sous d'autres formes.
par ailleurs, je ne vois aucune objection à ce que l'on traite aussi ces équations dans C.
c'est aussi instructif.

[Dynamix]

Salut

obligatoirement x=y sauf erreur de ma part

Uniquement dans le domaine réel et pour des puissances impaires .
D' ou l' intérêt de chercher des solutions dans le domaine complexe si le domaine n' est pas spécifié (ou sous entendu) dans l' énoncé .

[izm342]

Salut

Uniquement dans le domaine réel et pour des puissances impaires .
D' ou l' intérêt de chercher des solutions dans le domaine complexe si le domaine n' est pas spécifié (ou sous entendu) dans l' énoncé .

Ca c’est intéressant, je l’ignorais
Alors pour 3x^3 = 3y^3, on peut trouver des xi, différent des yi et qui répondent à l’égalité (3x^3 = 3y^3).

[PlaneteF]

Bonjour,

Alors pour 3x^3 = 3y^3, on peut trouver des xi, différent des yi et qui répondent à l’égalité (3x^3 = 3y^3).

Par exemple soient , , et

, et sont 3 nombres complexes distincts deux à deux et on a bien (qui vaut )


Cordialement

[izm342]

Bonjour,



Par exemple soient , , et

, et sont 3 nombres complexes distincts deux à deux et on a bien (qui vaut )


Cordialement

trés bien présenté
merci