Polynômes de Legendre

[christophe_de_Berlin]

Bonjour,

Voilà, je ne sais pas comment prouver les choses suivantes:

- qu´il n´existe des solutions aux équations de Legendre



que s´il existe n tel que m = n(n+1)

- que ces solutions sont nécessairement des polynômes de degré n.

Comment peut-on prouver cela?

Merci d´avance.

Christophe
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[Universus]

Bonjour,

En posant , l'équation se récrit avec . Il s'agit d'une équation différentielle (linéaire) d'ordre 1. Étant donné que est lipschitzienne dans son argument (étant linéaire), le théorème de Cauchy-Lipschitz s'applique : en spécifiant un couple , il existe une unique solution maximale à vérifiant . En fait, étant localement lipschitzienne en x et globalement lipschitzienne en z, les solutions maximales sont globales. Puisque est analytique sur l'ensemble , les solutions de l'équation différentielle sont aussi analytiques sur cet ensemble.

Donc, toutes les solutions sont de la forme (avec un rayon de convergence valant 1). L'équation différentielle de Legendre permet de déterminer les par récurrence. Le rayon de convergence de la série pose des contraintes sur les . J'imagine que ces considérations impliquent les résultats recherchés.

[christophe_de_Berlin]

Oh mon Dieu... ya pas une solution qui soit plus .... à ma portée?

[Universus]

Le premier paragraphe avait pour objectif principal de justifier la nécessité et la suffisance de considérer des solutions analytiques. L'approche suggérée dans le second paragraphe est fréquemment utilisée, puisqu'elle est systématique ; puis ici, cette méthode semble appropriée afin de tomber sur des polynômes...

Peut-être existe-t-il un résultat du genre « si f solutionne l'équation avec m=n(n+1), alors f' solutionne l'équation avec m=(n-1)n » ? Dans ce cas, par récurrence, nous pourrions nous ramener au cas n=0 ou n=1 pouvant être gérés aisément par ansatz (et par le fait que deux solutions indépendantes génèrent toutes les solutions). Une idée comme ça...

Cependant, en relisant le premier paragraphe, j'ai l'impression qu'une solution existe même lorsque m n'est pas de la forme n(n+1) ... J'ai plutôt l'impression que des solutions polynomiales n'existent que dans les cas m=n(n+1), le degré de ces polynômes étant alors n.

Sinon, la littérature en a certainement beaucoup à dire sur le sujet, bien plus que tout ce que je pourrais bien trouver d'intelligent à écrire...

Bon courage !

[A voir en vidéo sur Futura]

[christophe_de_Berlin]

Oui le truc avec les solutions analytique, je l´avais compris: soit une solution analytique: si à partir d´un certain rang, les indices a_n sont nuls (à prouver avec l´équation différentielle), alors du coup cela fait un polynôme.

Mais effectivement c´est le premier paragraphe (la preuve que la solution est analytique) qui me pose problème. J´aimerais bien trouver quelquechose de plus simple.

Et peut-être qu´effectivement il y a une correlation entre n(n+1) et l´existence de solutions polynomiales.

Merci, je vais d´abord fouiller dans la litérature, si je trouve quelquechose, j´en fais pare au forum.

[Universus]

Il se peut bien que je sois dans l'erreur en arguant que les solutions sont analytiques. Cependant, j'ai déjà eu un (excellent) cours sur ces sujets et je me rappelle vaguement y avoir vu un résultat de ce genre (il était si excellent que je pensais pouvoir m'en souvenir à vie, donc je ne prenais pas de notes de cours... quelle erreur...).

Le cours portait en partie sur la théorie de Sturm-Liouville, théorie englobant l'équation de Legendre (qui est une équation de Sturm-Liouville homogène). Grosso modo, l'idée est que pour un opérateur de Sturm-Liouville L aux « fonctions coefficients » suffisamment régulières et pour f une fonction suffisamment régulière (par exemple, la fonction nulle), l'équation Lu=f admet des solutions analytiques. C'est une sorte de régularité elliptique. En fait, L étant « analytique », sa fonction de Green est assez « régulière » et donc les solutions aussi.

Je ne m'en souviens pas davantage...

[azizovsky]

il suffit de remplacer la série dans l'équation et en égalisant le coefficient de x^n à zéro ,tu'aura un rapport de ?? , et on posant tu trouve une solution , et si tu pose , tu'aura une deusième solution , dans l'équation le coefficient de admet les racines 1 et -1 , et , il en découle que les séries et doivent converger pour
avec l'aide de critère d'Alambert : tu prend le rapport d'un terme au précédent au signe près par exemple pour tu dévise le numérateur et dénominateur par , et tu peux écrire en valeur absolu le rapport , quand n croit indéfinimernt , ce rapport doit tendre vers , càd, les conditions sur n et m pour que la série converge .

[christophe_de_Berlin]

Je viens de trouver dans un livre de Ole Christensen et un cours en ligne du même auteur une réponse partielle à mes questions:

Il considère l´équation de Legendre sur l´espace L²([-1, 1]) et il dit - malheureusement sans le prouver - qu´on peut montrer que sur cet espace, il n´existe des solutions non nulles que si m = n(n+1).

Ensuite il cherche des solutions analytiques à l´équation sur ce même espace et là aussi il écrit le résultat, donc les polynômes de Legendre sans s´attarder sur la démonstration. Là par contre ce n´est pas un problème, je pense que c´est facile à prouver.

Le truc intéressant, c´est qu´il montre que sur cet espace, cette famille de polynômes forme une base orthogonale. D´où l´intéret justement de réduire la recherche à cet intervalle.

Mais justement c´est ce dernier point qui me chiffonne: Si l´ensemble {P_l , } des polynômes de Legendre forme une base de dimension infinie de l´espace vectoriel L²([-1, 1]), cela voudrait dire que toute fonction de carré intégrable sur [-1, 1] s´exprime comme combinaison linéaire de ces polynômes, ce qui voudrait dire au bout du compte que toute fonction de carré intégrable sur [-1,1] est analytique? Est-ce possible?

[Universus]

Bonjour,

J'ai délaissé ma paresse et j'ai étiré le bras vers ma bibliothèque afin de consulter un bouquin d'ÉDO : W.E. Boyce et R.C. DiPrima. Équations différentielles. Traduction R. Labonté. Chenelière/McGraw-Hill, Montréal, 2002.

Ils corroborent essentiellement ce que j'ai dit : les solutions sont possiblement des polynômes seulement lorsque . En fait, selon l'exercice 22 de la page 265, en notant , alors la méthode entamée par azizovsky permet d'obtenir deux solutions indépendantes (valables au moins sur l'intervalle )





En particulier, si avec n entier, alors (selon la parité de n) l'une ou l'autre des solutions est un polynôme.

Je viens de trouver dans un livre de Ole Christensen et un cours en ligne du même auteur une réponse partielle à mes questions:

Il considère l´équation de Legendre sur l´espace L²([-1, 1]) et il dit - malheureusement sans le prouver - qu´on peut montrer que sur cet espace, il n´existe des solutions non nulles que si m = n(n+1).

En utilisant le critère de d'Alembert dans les deux séries ci-dessus (en excluant les polynômes possibles), le terme général de la suite des quotients des coefficients consécutifs est et respectivement. Nous voyons que dans la limite , la valeur absolue de ces suites tendent toutes deux vers . Donc si l'une ou l'autre de ces séries n'est pas un polynôme, elle diverge en ou en . Il faudrait évaluer l'ordre de la singularité, mais cela laisse présager que ces séries, bien que définies dans l'intervalle , n'y sont pas de carré intégrable.

Ensuite il cherche des solutions analytiques à l´équation sur ce même espace et là aussi il écrit le résultat, donc les polynômes de Legendre sans s´attarder sur la démonstration. Là par contre ce n´est pas un problème, je pense que c´est facile à prouver.

Le truc intéressant, c´est qu´il montre que sur cet espace, cette famille de polynômes forme une base orthogonale. D´où l´intéret justement de réduire la recherche à cet intervalle.

Pour un domaine compact tel que , les fonctions continues sont denses dans les fonctions de carré intégrable, les polynômes sont denses dans les fonctions continues et les polynômes de Legendre (c'est-à-dire les polynômes de la forme ou pour un certain n) génèrent assurément les monômes et donc tous les polynômes.

Mais justement c´est ce dernier point qui me chiffonne: Si l´ensemble {P_l , } des polynômes de Legendre forme une base de dimension infinie de l´espace vectoriel L²([-1, 1]), cela voudrait dire que toute fonction de carré intégrable sur [-1, 1] s´exprime comme combinaison linéaire de ces polynômes, ce qui voudrait dire au bout du compte que toute fonction de carré intégrable sur [-1,1] est analytique? Est-ce possible?

Les polynômes de Legendre ne forment pas une base de l'espace vectoriel , mais bien une base hilbertienne, c'est-à-dire que l'ensemble des combinaisons linéaires finies de polynômes de Legendre est un sous-espace vectoriel dense (pour la topologie induite par la norme ) de l'espace vectoriel total des fonctions de carré intégrable.

Ainsi, pour toute fonction mesurable de carré intégrable et pour toute marge d'erreur, il existe un polynôme dont la norme est la même (à la marge d'erreur près) que la norme de ladite fonction mesurable. Or, le polynôme n'est jamais pile poil la fonction mesurable, elle ne fait que l'approximer au sens . Il n'est pas non plus assuré qu'il existe une suite de polynômes approximant de mieux en mieux une fonction mesurable telle que les divers polynômes correspondent à des troncatures d'une même série de puissance, cette condition étant nécessaire pour les fonctions analytiques.

[christophe_de_Berlin]

Bon, merci, je crois que je vais mettte un bon bout de temps à analyse pièce par pièce ton texte, mais je vais m´y atteler.