Valeurs et vecteurs propres d'une matrice

[Alouxis]

Bonjour,

je suis confronté à un problème à propos de vecteurs propres de matrices... Le problème est à l'origine un problème physique :

J'ai un hamiltonien dont l'écriture matricielle est

On trouve 3 valeurs propres qui sont et dégénérée 2 fois.

Les vecteurs propres correspondants sont donc




où les kets u1 u2 et u3 forment une base orthonormée 3D. Je comprends pas pourquoi les 2 vecteurs propres associés à sont des combinaisons linéaires quelconques de u2 et u3... si quelqu'un pouvait m'expliquer ça... Merci d'avance
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[minushabens]

C'est parce que si tu as deux vecteurs x1 et x2 non liés qui sont tous deux vecteurs propres d'un endomorphisme u avec la même valeur propre a (donc ux1=ax1 et ux2=ax2) alors n'importe quelle combinaion linéaire de x1 et x2 est encore un vecteur propre de u associé à la valeur propre a, puisque u(sx1+tx2)=sux1+tux2=sax1+tax2 =a(sx1+tx2)

[Alouxis]

Bonsoir,

Tout d'abord merci pour ta réponse, mais c'est pas encore très clair pour moi :

Quand on parle de valeur propre dégénérée 2 fois on peut dire :

- Qu'il existe 2 vecteurs propres qui sont chacun des combinaisons de 2 vecteurs linéairement indépendants ?

- ou simplement qu'il existe 2 vecteurs propres linéairement indépendants puisque si est vecteur propre où et sont des complexes quelconques alors et sont chacun vecteur propres de l'endomorphisme ?

C'est assez confus ceci dans ma tête... Merci de votre aide

[Neluge]

La première phrase n'a pas vraiment de sens : quand on a une valeur propre, il existe toujours au moins deux vecteurs propres, et ceux-ci peuvent toujours s'écrire comme une combinaison linéaire de deux vecteurs... Mais ça n'empêche pas l'un des vecteurs propres d'être colinéaire à l'autre.

La 2ème phrase, par contre, est plus proche de la caractérisation.

valeur propre simple = l'ensemble des vecteurs propres associés à est une droite vectorielle. Donc si l'on prend un vecteur propre , alors tous les vecteurs propres associés à s'écrivent .

est valeur propre dégénérée 2 fois = l'ensemble des vecteurs propres associés à est un sous-espace de dimension 2 (plan vectoriel). Il existe deux vecteurs de base de ce plan vectoriel et (càd deux vecteurs propres linéairement indépendants) ; l'ensemble de tous les vecteurs propres associés à s'écrit alors .

[A voir en vidéo sur Futura]

[Alouxis]

Merci beaucoup, c'est très très clair.

Bon dimanche