Les distributions

[freemp]

Ah oui ok je ne pensais pas qu'on parlait du L1 "droit" qui représente les classes d'équivalences de fonctions intégrables.

Certes mais je ne pensais pas forcément aux fonctions des classes d'équivalences mais directement aux fonctions intégrables (je distingue deux fonctions égales p.p entre elles).
Et dans les théories physiques que j'ai vues jusqu'à présent on distingue bien deux fonctions égales p.p entre elles en général (quand on étudie la vitesse d'un mobile on a pas un point au beau milieu qui "se barre").
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[Amanuensis]

Il me semble qu'il faut bien distinguer distributions et fonctions C1 par morceaux.

On peut travailler avec les deux sans pour cela impliquer qu'on peut remplacer une fonction C1 par morceaux par une autre fonction pp égale à la première.

En physique les fonctions "primaires" (genre les trajectoires spatio-temporelles) sont C1 par morceaux au minimum (on peut les prendre Cinfini sans perte de signification physique). Remplacer une telle fonction par la classe des fonctions presque partout égales n'aurait pas de sens physique.

[invite02232301]

Physiquement, rien ne permet de distinguer deux fonctions egales pp.
Apres, il n'empeche que lorsque l'on a une distribution, se demander est ce qu'elle est représentable par une fonction ayant une regularité donnée est un probleme interessant et qui se pose souvent en partique.
Trouver toutes les solutions a une EDP qui soient des distributions est en general beaucoup plus facile que de determiner parmi celle la, celles qui sont des solutions regulières. Et les questions de regularisations des operateurs (i.e si les condtions initiales sont d'une telle regularité alors la solution globale aura t elle la meme) sont des questions cruciales, et la théorie des distrbutions permet de les traiter (au fond, le point central de la theorie des distributions c'est le theoreme des noyaux de Schwartz, et c'est bien le fait qu'on ait un theoreme si puissant qui fait que la theorie a un tel succes).

Mais au fond, qu'est ce que tu veux savoir? Les distributions sont une generalisation pratique des fonctions qui permet de faire a peu pres autant de choses qu'elles. Dans pas mal de cas, il est meme souvent bien plus facile et naturel de travailler avec des distributions, dans d'autres non.
C'est le cas d'a peu pres toutes les extensions de notions.
Le fait est que dans la physique on a souvent des problemes qui s'expriment en fonctions d'EDP, qui peuvent s'interpreter en terme de distribution comme de fontions. Parfois les solutions distributionnelles ont un sens physique (equation de transport par exemple) parfois pas. Mais le fait est que c'est toujours plus facile de raisonner en distribution, quitte a retrouver ses moutons plus tard.

Et encore une fois le simple fait que les objets idéalisés que traite la physique (charge ponctuelle, distrbution surfacique etc...) ne peuvent s'exprimer correctement qu'en terme de distribution, fait que c'est un outil dont on ne veut pas se passer.

[invite02232301]

Je répond à ça egalement

Par exemple dans les lois de newton enseignées aux lycée (PFD), l'outil de modélisation ce sont les fonctions.

Car des deux côtés du signe égal on a des fonctions.

Ca depend. Ca depend comment on aborde les choses. Pour definir le potentiel par exemple, celui crée par une charge ponctuelle, une bonne manière de le faire passe par les distributions, il est difficile de shunter ceci, saut à abandonner la rigueur. Enfin on peut aussi tout exprimer sous des intégrales également. En fait il y a 10 000 manières de presenter la mecanique newtonienne. Dans pas mal de ces manières, on ne peut se passer des distributions.
Par exemple si tu prend l'equation de Poisson associé à une charge ponctuelle où rho est la distrbution de masse et phi le potentiel. Qu'est ce que rho dans le cas d'une charge ponctuelle?
Et comment passer d'une solution à cette équation a la formule donnant le potentiel crée par une distribution de charge rho, quelconque.

Concernant ton graph en fait je ne l'avais pas bien compris ...!

Quand tu dis diagramme commutatif qu'est ce qui commute avec quoi ?
Que représentent les flèches verticales, des surjections ?

Dire que le diagramme commute c'est dire que la composition des fleches donne la meme chose, quelque soit le chemin que l'on suit dans le diagramme.
Dans mon diagramme, si tu compose la fleche verticale de droite avec celle du haut, tu obtiens la meme chose que si tu compose celle du bas avec celle de gauche.
Les fleches verticales sont simplement les restrictions à un ouvert plus petit.

[Tryss]

Il me semble qu'il faut bien distinguer distributions et fonctions C1 par morceaux.

On peut travailler avec les deux sans pour cela impliquer qu'on peut remplacer une fonction C1 par morceaux par une autre fonction pp égale à la première.

En physique les fonctions "primaires" (genre les trajectoires spatio-temporelles) sont C1 par morceaux au minimum (on peut les prendre Cinfini sans perte de signification physique). Remplacer une telle fonction par la classe des fonctions presque partout égales n'aurait pas de sens physique.

Pourquoi? Si on a une fonction f de L^1 qui admet un représentant C^1, si je prends un autre représentant et que je l'évalue en un nombre fini de points, la probabilité d'obtenir quelque chose de différent du représentant C^1 est nulle : ça ne fait donc aucune différence "for all practical purpose"

[invite02232301]

J'avais zapé ce mesage,

En physique les fonctions "primaires" (genre les trajectoires spatio-temporelles) sont C1 par morceaux au minimum (on peut les prendre Cinfini sans perte de signification physique). Remplacer une telle fonction par la classe des fonctions presque partout égales n'aurait pas de sens physique.

Ce serait interessant de savoir pourquoi. J'y ai reflechi un peu et je ne vois pas trop trop de raison, elles m'echappent sans doute.
A vrai dire les raisons que je connais en physique qui imposent une regularité aux objets proviennent en general des operateurs qu'on applique dessus (ou des structures globales que l'on veut obtenir sur les objets e.g espace de Hilbert en MQ), exemple tres simple, la continuité de la tension aux bornes d'un condensateur parce que l'intensité est donné par la dérivée de celui ci ou celle du potentiel en elcotrostatique.
Si on accepte de travailler tout le temps en distribution alors ces contraintes tombent. Néanmoins, on peut si on le désire continuer à ne s'interesser qu'aux vraies fonctions (au moins C1), parce que si une distribution est égale à une fonction continue (de manière plus precise, si elle est égale à la distribution régulière associée à une fonction continue), alors la fonction continue en question est unique. Les distributions apparaissent alors comme un intermédiaire de calcul qui permet de defricher le terrain (c'est ce que font les EDPistes par exemples, qui s'interessent surtout aux solutions de leurs EDP qui sont des fonctions). Néanmoins faut quand meme voir que certains objets (que j'ai mentionné plus haut) tres utiles en physique sont intrinsèquement des distributions.
Il peut y avoir des raisons de preferer les fonctions C1 ou continue ou meme lisse aux distributions generales, on peut decider de manière axiomatique, que les trajectoires sont necessairement C1 au moins. Mais je ne connais pas de raison autre (la raison des EDPistes est qu'il est en general beaucoup plus difficile de trouver les solutions fonctions que les solutions distributions, et c'est donc beaucoup plus interessant).

[freemp]

Salut.

J'ai bien vu vos réponses.
Le problème c'est que je n'arrive pas à bien expliquer ce qui me pose problème, mais quelque chose me pose problème quand on utilise les distributions, la meilleure façon pour moi de faire ressortir ce qui me choque c'est de donner des exemples...

Je vais donc donner un exemple :

Bon en gros le problème est d'étudier le mouvement d'un solide, une balle de tennis par exemple.
Le but est de savoir au bout de combien de temps la balle va s'arrêter.

On choisit dans un premier temps d'utiliser les fonctions "classiques" pour décrire le problème.

On fait un PFD (on suppose que la balle est lancée, on néglige son poids et on a juste la force de frottement):
Imaginons que c'est un frottement lié à la table (donc vitesse et accélération toujours colinéaires ici).
l'accélération est donc la dérivée de la vitesse (tous les objets de mon équation sont des fonctions, pas de distributions ici !).



En raisonnant avec ce point de vue "fonctions", on a donc une équadiff du premier ordre qu'on intègre et on obtient étant donné les conditions initiales, le temps qu'il faut pour que la balle aie sa vitesse nulle.

Bon ok pas de soucis.

Maintenant on utilise comme outil de modélisation, non plus les fonctions mais les distributions.

Première question : Peut on modéliser le problème avec des distributions, et si oui se transpose t'il exactement de la même manière qu'avec les fonctions.

En gros, je pose maintenant le PFD avec des distributions :



L'accélération et la vitesse sont donc ici du type : pour la vitesse.

Alors bien sur mon équation est licite (j'ai intégré des deux cotés l'équation en fonction), mais cette équation va elle pour autant m'aider à résoudre mon problème ?

Comment je peux savoir au bout de combien de temps ma balle va s'arrêter par exemple avec cette modélisation ?
Qu'est ce que je peux tirer de cette modélisation que je n'aurai pas eu avec celle avec les fonctions ?

Car pour moi en gros, les distributions sont naturelles en physique à partir du moment... où on a des distributions.
J'entend par là des distributions de charges (en E.M) par exemple.

Pour moi, parler de la distribution "vitesse" quand on s'intéresse au mouvement d'une balle n'a aucun intérêt.
De plus, l'équation adopte un "sens physique" que je ne suis pas sur de comprendre (physiquement [v] ce serait quoi du coup vu qu'on intègre sur une fonction phi, on a pas d'instrument de mesure ici donc pourquoi on voudrait "lisser" la vitesse ?).

Le problème que j'ai avec tout ça c'est que des fois je vois des équations dans des bouquins de physique qui ont un sens tout à fait compréhensible avec des fonctions, mais seulement ils les manipulent comme des distributions.
Autant une distribution de charges a un sens très physique, autant remplacer toutes les fonctions qu'on voit par des distributions en a beaucoup moins pour moi.

Désolé de toutes ces questions, vous avez surement l'impression qu'on tourne en rond mais parfois il y a des trucs que je ne comprends pas et j'ai du mal à cerner précisément le point qui pose problème, je suis un peu dans le "flou".

Merci !

[Amanuensis]

Ce serait interessant de savoir pourquoi. J'y ai reflechi un peu et je ne vois pas trop trop de raison, elles m'echappent sans doute.

Je réfléchissais aussi à ce point. Déjà je ne sais si ce que je raconte est correct : c'est juste un constat, nécessairement sur une expérience limitée. Une possibilité est le "principe de localité". La vitesse de l'information étant limitée à c, elle ne peut être infinie. Cela donne au moins la continuité. Ensuite, l'approche par les lagrangiens impose un minimum de dérivabilité; car comment sinon obtenir les équations d'Euler-Lagrange?

OK, ce que je raconte là est tout sauf rigoureux ; juste des pistes...

[Amanuensis]

Pourquoi? Si on a une fonction f de L^1 qui admet un représentant C^1, si je prends un autre représentant et que je l'évalue en un nombre fini de points, la probabilité d'obtenir quelque chose de différent du représentant C^1 est nulle : ça ne fait donc aucune différence "for all practical purpose"

??? Oui, donc pourquoi prendre autre chose que le représentant C^1? L'important est qu'il y existe un tel représentant. Le moyen le plus simple de s'en assurer est de l'utiliser, non?

[stefjm]

Je réfléchissais aussi à ce point. Déjà je ne sais si ce que je raconte est correct : c'est juste un constat, nécessairement sur une expérience limitée. Une possibilité est le "principe de localité". La vitesse de l'information étant limitée à c, elle ne peut être infinie. Cela donne au moins la continuité. Ensuite, l'approche par les lagrangiens impose un minimum de dérivabilité; car comment sinon obtenir les équations d'Euler-Lagrange?

OK, ce que je raconte là est tout sauf rigoureux ; juste des pistes...

C'est aussi un problème auquel j'ai réfléchi et qui me chipote pas mal...
J'ai l'impression que c'est lié au problème de Cauchy de la solution unique des EDO (équation différentielle ordinaire) avec les CI (Conditions Initiales) qui vont bien.
Gatsu, Phuphus, B@ez66 et moi y avons pas mal réfléchi et discuté sur physique et mathématiques. (Ordre des EDO et fonction de transfert en Fourier ou Laplace)
On était géné par le fait qu'il y ait plusieurs RI (réponse impulsionnelle) possibles pour une même FT (Fonction de Transfert) et on se demandait ce qui caractérisait le mieux le système étudié. (La FT L ou F, +les CI ou pas)

Pour le coté temporel, il me semble que cela dépend du domaine sur lequel on veut la solution : R ou seulement R+; avec un choix arbitraire entre R+ et R- qui pose des soucis de compréhension mathématico-physique.
L'utilisation de la TL impose des RI nulles pour les temps négatifs pour raison de causalité, ce qui exclut les solutions sur R- et dissimétrise le temps. On ne peut pas remplacer t par -t dans les équations mathématiques et obtenir le résultat symétrique, puisqu'il ne l'est pas.

L'utilisation de fonction (sans distribution) oblige à tenir compte des CI à t=0. (Ex, ordre 1, une CI sur x, )
L'utilisation de distribution "décale d'un cran" la prise en compte des CI et changement de membre. (Ex, ordre 1, CI nulle, mais dans le second membre )

Une dernière remarque : Quand on étudie des systèmes à réponse continue, le signal d'excitation le plus efficace est celui le plus ponctuellement discontinu : L'échelon pour les fonctions continues par morceau ou le dirac pour les distributions.

L'échelon est lié à l'intégration puisque RI de l'intégrateur.
Le dirac est l'élément neutre des convolutions qui donnent les solutions des EDO.

Comme d'hab, pas très rigoureux, mais c'est pour essayer de mieux comprendre le truc.
Cordialement.

[Tryss]

??? Oui, donc pourquoi prendre autre chose que le représentant C^1? L'important est qu'il y existe un tel représentant. Le moyen le plus simple de s'en assurer est de l'utiliser, non?

Parce que c'est plus simple de traiter le problème sur, par exemple, H^1 tout entier puis de montrer que ce que l'obtient est bien C^1 que de résoudre le problème sur C^1.

[Amanuensis]

Parce que c'est plus simple de traiter le problème sur, par exemple, H^1 tout entier puis de montrer que ce que l'obtient est bien C^1 que de résoudre le problème sur C^1.

Pour faire un parallèle naïf: comme passer par les complexes pour trouver une racine réelle à une équation du 3e degré?

[freemp]

Bonjour,

Quelqu'un aurait-il une idée pour mon dernier message ?
A savoir si le PFD peut s'interpréter en remplaçant les fonctions par les distributions régulières associées ou si c'est un non sens (et dans tel cas, on ne peut pas utiliser les distributions "tout le temps comme on veut").
(J'ai personnellement beaucoup de mal à y trouver une interprétation physique permettant de résoudre un problème de dynamique)
Merci

[stefjm]

Bonjour,
L'idée, c'est que les distributions régulière sont définies à l'aide d'une intégrale et que la solution d'une équation différentielle (ou d'un système différentiel) est donnée par une convolution de la réponse impulsionnelle (d'où la distribution de Dirac) avec l'excitation du système.

Par exemple, voir dans ce document page 16, 2.3 Application à la résolution d’ ́equations diff ́erentielles linéaires
https://www-n.oca.eu/aristidi/Cours/analyse_fourier.pdf

Cordialement.

[stefjm]

Bonjour,
Juste pour signaler à ceux qui ne suivent pas le forum de physique régulièrement, le petit frère de ce fil pour les utilisations en physique des distributions. (et les à peu près mathématique qu'en font les physiciens)

http://forums.futura-sciences.com/ph...-physique.html

Cordialement.

[freemp]

Salut.

Merci pour ton document, je pense que c'est exactement ce qu'il me faut (un pont entre les théories "rigoureuses" de maths et les applications "pratiques" en physique).

Sinon j'avais "fermé" l'autre topic car j'avais peur de me le faire supprimer par un modérateur pour doublon.
J'avais déjà posé des questions en maths et en physique sur le même thème mais avec l'aspect de la discipline en question et je me suis fait supprimer l'un des deux topics.

Je lis attentivement tout ça et je reviens vers vous.

A bientôt !

[invite02232301]

Pour faire un parallèle naïf: comme passer par les complexes pour trouver une racine réelle à une équation du 3e degré?

C'est un peu ca oui.
L'espace des ditrbutions ou les espaces de Sobolev ont en general de meilleures propriétés que les espaces de fonctions interessantes, et on dispose de meilleurs theoremes à leur sujet.
Mais de toute façon il est bien sur reducteur de ne vouloir utiliser que des distributions (en oubliant totalement la notion de fonction), tout comme de ne jamais vouloir passer dans le monde des distributions quand c'est vraissemblablement le bon cadre où se placer.

Pour ma part (et je repond là plus à Freemp), je vois veritablement les distributions comme des fonctions. Je ne leur accorde pas un statut different. Parmi toutes ces fonctions, il y en a des tres singulières, d'autres moins singulières (par exemple les fonctions discontinues, les dirac etc...) d'autre encore moins singulière (C1(X)) et d'autres tres regulières (C^\infty(X)). Pour les besoins d'un probleme je peux ne considerer qu'une classe restreinte de fonctions (notamment parce que parfois il n'est pas possible de faire des choses dans une trop grande generalité).

Par exemple, il n'est pas possible de définir de multiplication entre distributions arbitraires. C'est pas pour auant qu'on doit se passer du produit entre certaines classes de distributions quand c'est possible.

(Toujours pour Freemp), sur ton probleme en question (le PFD) effectivement la notion de distribution n'est effectivement necessaire nulle part dans le probleme. Tout comme (pour filer la metaphore d'Amanuensis) tu n'as pas besoin d'utiliser les nombres complexes pour résoudre l'equation x²=1. Il n'empeche que le corps des nombres complexes est quand meme bien mieux fichu que celui des nombres réels, et qu'on aime souvent plutot un probleme en complexe qu'en réel.

Pour les equation d'Euler-Lagrange, c'est pas vraiment un souci. En fait la encore, le cadre distributionnel est plus naturel. Parce qu'on passe d'une equation intégrale (le principe de moindre action) à une equation locale (celle d'euler Lagrange). Or dans le cadre distribution, l'equation intégrale est rigoureusement équivalent à l'equation locale distribution, alors que l'equation intégrale n'est équivalent à l'equation locale en fonction, que si les fonctions sont suffisament régulière.
Ca repose bien sur sur le fait que si pour tout phi fonction test, alors f=0 en tant que distribution par définition, alors que pour dire que f=0 en tant que foncton, il faut s'assurer que f est continue par exemple.

[Amanuensis]

Pour les equation d'Euler-Lagrange, c'est pas vraiment un souci. En fait la encore, le cadre distributionnel est plus naturel. Parce qu'on passe d'une equation intégrale (le principe de moindre action) à une equation locale (celle d'euler Lagrange). Or dans le cadre distribution, l'equation intégrale est rigoureusement équivalent à l'equation locale distribution, alors que l'equation intégrale n'est équivalent à l'equation locale en fonction, que si les fonctions sont suffisament régulière.

J'aimerais mieux comprendre. Il me semble que l'argument est circulaire: si on pose a priori (cas de la physique) que les fonctions sont suffisamment régulières, on a l'équivalence. Cela n'explique pas en quoi le passage par les distributions est utile dans ce cas.

Ce serait intéressant de montrer un exemple...

[stefjm]

+1
Dans le cas du PFD par exemple, ordre deux, deux conditions initiales pour les fonctions ou un delta et un delta' d'excitation pour les distributions.

Cela donne l'impression qu'on ne s'intéresse qu'aux fonctions C2.

Mais j'ai peut-être encore raté un truc.

[Tryss]

J'aimerais mieux comprendre. Il me semble que l'argument est circulaire: si on pose a priori (cas de la physique) que les fonctions sont suffisamment régulières, on a l'équivalence. Cela n'explique pas en quoi le passage par les distributions est utile dans ce cas.

Ce serait intéressant de montrer un exemple...

Sur un exemple simple :

On s’intéresse à l'équation de Poisson sur un ouvert borné régulier de :



Avec . L'espace naturel pour résoudre cette équation est l'espace , on va donc rechercher des solutions dans cet espace.

Cette équation se réécrit alors au sens des distributions comme





Par densité de dans , pour toute fonction , il existe une suite qui tend vers en norme

Donc on a



Et




Donc (2) implique l'équation suivante (et réciproquement car )



Par le théorème de Lax-Milgram cette équation possède une unique solution .

On a donc "résolu" l'équation pour . On a même facilement l'estimation par l'inégalité de Poincaré


La question qui se pose alors : quelle est la régularité de ? Et si maintenant ?

C'est un peu plus compliqué et c'est là que le sport commence.

Biensur, pour l'équation de Poisson, on peut faire autrement, mais c'était pour illustrer le type de démarche que l'on peut avoir

[freemp]

Salut.

Merci de vos réponses.

Voici ce que je pense avoir compris jusqu'à présent mais certains point sont encore obscurs pour moi :

Considérons une équation différentielle pour l'exemple d'inconnue f (équation de fonctions).


g est une fonction connue régulière (C infini par ex).

Supposons que les fonctions avec lesquelles nous travaillons sont localement intégrables et continues.

Alors le processus :

On considère la fonction f, inconnue de l'équation.
On lui associe sa distribution régulière [f], et de même on associe [g] à g(x).
On résout l'équadiff en distributions.
On prend la solution de l'équation en distribution.
On lui associe sa fonction (on prend le "f" du [f]) : on a donc la fonction f(x).

Et celui ci :
On prend la fonction
On résout l'équadiff en fonction.
On prend la solution : on a donc la fonction f(x).

Donneront le même résultat puisque dériver une fonction localement intégrable et continue au sens des fonctions et des distributions c'est ""la même chose"" (on retombe sur nos pattes sans soucis).

Bon là j'ai pris l'exemple "gentil" ou tout fonctionne bien.

Maintenant, supposons qu'on aie g qui soit discontinue, par exemple un heaviside avec la discontinuité en 0.
Si on reste dans le domaine des fonctions "pures", on perd de l'information vu qu'on ne peut pas dériver g en 0.

Et c'est là que les distributions ont un intérêt puisque la dérivée au sens des distrib donnerai un dirac en 0.

Donc là on refait le processus précédent :

On considère la fonction f, inconnue de l'équation.
On lui associe sa distribution régulière [f], et de même on associe [g] à g(x).
On résout l'équadiff en distributions => présence d'un dirac à gauche du =.
On prend la solution de l'équation en distribution.
On lui associe sa fonction (on prend le "f" du [f]). => cette fois ci on ne peut plus rebasculer dans l'espace des fonctions à cause du Dirac.

Donc ici, la solution qu'on aura comportera une partie qui n'a pas d'équivalent au sens des fonctions, mais cette partie est physique, elle veut dire qu'on a dérivé à un moment donné une discontinuité : ici les distributions présentent un intérêt plus important que les fonctions puisqu'on a de l'info qu'on aurait pas eu avec les fonctions (autrement dit la solution en distrib est plus physique, et plus proche de la réalité, on est un peu obligé de l'utiliser ici).

Mais l'autre point important ici est qu'on peut considérer la distribution qu'on a obtenu comme résultat de l'équa-diff comme une fonction dès qu'on est sur les points hors du dirac (pour les raisons citées plus haut vis à vis des dérivations de fonctions localement intégrables continues). Après, en x=0, là où g est discontinu, en toute rigueur on ne peut pas repasser en fonction, mais on généralise la notion de fonction en disant qu'en gros vu qu'on a dérivée une discontinuité, on peut voir le dirac comme une fonction avec un pic super étroit car c'est l'idée physique derrière de la dérivation d'une discontinuité.

Êtes vous ok jusqu'à présent ??

Bon alors ensuite supposons que j'ai une équation du type :


g toujours irrégulière.

Êtes vous d'accord avec moi si je dis qu'ici il sera difficile de travailler avec les distributions en raison du produit : on peut introduire la distribution , mais je ne pense pas que ça nous aidera ?
On pourrait aussi voir comme le produit de la distrib par la fonction g (<gT,phi>=<T,g*phi>), mais on aura d'un coup g en fonction et g en distribution dans la même équation => ça peut pas nous aider ?

En gros les distributions c'est bien si on a du linéaire à coefficient constants.

Voila (j'aurai d'autres questions, notamment sur les TF de distribs mais je souhaiterai avoir confirmation sur mon propos avant de continuer).

Merci beaucoup !!

[freemp]

Ah et désolé mais j'oubliais, pour en revenir à la notion de diagramme commutatif :

Une injection canonique ca veut dire que tu as une injection et... qu'elle est canonique
Dit autrement ca veut dire que pour tout couple d'ouvert U et V de R^n, et une inclusion de V dans U (ou meme qqch de plus general), tu as un diagramme commutatif

où les fleches horizontales sont injectives.
Donc tu peux identifier brutalement une fonction (localement intégrable) à la distribution associée, sans autre forme de procés. Cette identification respecte la derivation sur les fonctions C1, comme l'a dit Tryss, c'est ce qui fait l'interet du sujet.

On prend U = R^n et V inclus dans U par exemple.
Donc en gros ce que tu voulais dire c'est qu'à f on associe la distribution [f] (flèche en haut au milieu).
Même principe pour la flèche en bas au milieu.

Je suis ok sur le fait que D'(V) est inclus dans D'(U) vu que V inclus dans U, par contre L1_loc(U) inclus dans L1_loc(V).
Mais ensuite tu voulais dire quoi par tes flèches verticales ?

Qu'en gros restreindre l'ensemble de def de la fonction et celui de la distribution ça revient au même, donc c'est un autre exemple (en plus de celui de la dérivation) pour montrer que l'opération "je restreint ma fonction à un ensemble plus petit" et "je restreint ma distribution à un ensemble plus petit" sont des opérations équivalentes ? (restreindre f à un plus petit ensemble de def, lui associer [f] OU associer directement [f] à f et ENSUITE restreindre l'ensemble de définition, ça revient au même).

Merci !

[freemp]

Je me permet de upper ce topic juste pour avoir confirmation sur mes deux derniers posts ?

Merci.

[invite02232301]

Je suis ok sur le fait que D'(V) est inclus dans D'(U) vu que V inclus dans U, par contre L1_loc(U) inclus dans L1_loc(V).

Non, et non.
On a simplement une fleche L1_loc(V) dans L1_loc(U) des que U est inclus dans V, cette fleche est surjective.
De la meme manière on a simplement une fleche de D'(V) dans D'(U), qui est surjective également (plus dur à prouver).

Le fait que ce diagramme commute est bien plus que simplement le fait que la dérivation ne depende pas du choix d'operer en distribution ou en fonction. C'est le fait que l'incjection des fonctions L1_loc dans D' soit canonique, intrinsèque si tu preferes, ou ne depend d'aucun choix.