somme infinie 1+2+3+4+5+... égale à -1/12 ???

Mct92mct · 29/08/2015, 13h07

Envoyé par leon1789

Abus de notation, ok, on en fait quand il n'y a pas de souci d'interprétation !
Alors pourquoi se permet-on un abus aussi dangereux avec lequel on peut démontrer 1=0 ? C'est juste pour faire le buz ??

1 + 2 + 3 + ... = -1/12

On ajoute 0 :
0 + 1 + 2 + ... = 0 + (-1/12) = -1/12

Par soustraction terme à terme :
1 + 1 + 1 + ... = (-1/12) – (-1/12) = 0.

On ajoute 0 :
0 + 1 + 1 + 1 + ... = 0,

Par soustraction terme à terme :
1 + 0 + 0 + ... = 0 - 0 = 0

Bonjour, ta démonstration très sympathique nous montre simplement que du point de vue d'une somme infinie, Il n'y a pas de différences entre 1 et 0, ce qui semble malgré tout assez cohérent physiquement...
Personnellement, ce qui m'a toujours dérangé en prépa c'est qu'on me fasse calculer la somme infinie de 1+ 1/2+1/3+ 1/4...= 2
et que par contre, on m'empêche de dire que la somme infinie de 1-1+1-1... soit comprise entre 0 et 1
tu comprends mon malaise?

Mct92mct · 29/08/2015, 13h20

PS:LN(infini)=0,9200444...

Mct92mct · 29/08/2015, 13h31

Bon, je me suis planté deux message au dessus...
je voulais dire 1+ 1/2+ 1/4 + 1/8...

Mct92mct · 29/08/2015, 13h36

1+1/2+1/3+...+1/N=Ln(N) quand N tend vers l'infini d'où l'infini=0,9200444= exp(-1/12)

**leon1789** · 29/08/2015, 15h39

Envoyé par Mct92mct

1+1/2+1/3+...+1/N=Ln(N) quand N tend vers l'infini

archi faux.

Envoyé par Mct92mct

Bonjour, ta démonstration très sympathique nous montre simplement que du point de vue d'une somme infinie, Il n'y a pas de différences entre 1 et 0

ce qui est absurde. Somme infinie ne signifie pas que tous les nombres sont nuls !

Envoyé par Mct92mct

Personnellement, ce qui m'a toujours dérangé en prépa c'est qu'on me fasse calculer la somme infinie de 1+ 1/2+1/4+ 1/8...= 2

et pourtant, cela à du sens.

Envoyé par Mct92mct

et que par contre, on m'empêche de dire que la somme infinie de 1-1+1-1... soit comprise entre 0 et 1
tu comprends mon malaise?

C'est quoi la définition de l'objet désigné par << 1-1+1-1... >> ?

Mct92mct · 29/08/2015, 18h17

Bonsoir,
Personnellement, je trouve que les deux sommes se ressemblent étonnamment...
L'une est la somme infinie des termes 2^(-i)
et l'autre la somme infinie des termes -1^(i)
et ce, en partant toutes les deux de i=0

azizovsky · 29/08/2015, 19h05

Bonsoir, j'essaye de comprendre la série 1-1+1-1......,soit une chasse d'eau que se vide par un mécanisme tous ou rien à chaque fois que le volume atteint un volume de 1L, à t=0 on ouvre la vanne de remplissage, quel est le volume dans la chasse à t= infini?

(1/2 est 'la probabilité' que le chat de schrödinger est mort-vivant ou que la chasse soit remplie-vide ...

.)

**leon1789** · 29/08/2015, 19h28

Envoyé par Mct92mct

Bonsoir,
Personnellement, je trouve que les deux sommes se ressemblent étonnamment...
L'une est la somme infinie des termes 2^(-i)
et l'autre la somme infinie des termes -1^(i)
et ce, en partant toutes les deux de i=0

en effet, on peut dire que ce sont la même série
$\text{[math]}$ ,
l'une pour x remplacé par -1 l'autre pour x remplacé par 2.

Comment définir un nombre quand on considère la série formelle
$\text{[math]}$
et qu'on veut remplacer x par -1 ou par 2 ?

Mct92mct · 29/08/2015, 20h04

Envoyé par leon1789

en effet, on peut dire que ce sont la même série
$\text{[math]}$ ,
l'une pour x remplacé par -1 l'autre pour x remplacé par 2.

Comment définir un nombre quand on considère la série formelle
$\text{[math]}$
et qu'on veut remplacer x par -1 ou par 2 ?

Bonsoir,
c'est une excellente question... surtout quand on veut avoir une réponse quelque soit x... Comme pour certaines équations du second degrés

**gg0** · 29/08/2015, 20h23

surtout quand on veut avoir une réponse quelque soit x

Vouloir n'est pas pouvoir. on voudrait aussi trouver une valeur à 1/x, pour tout x; ou à a^x pour a quelconque négatif et x quelconque.

D'autre part, une écriture formelle peut être manipulée formellement (c'est l'une des façons de donner du sens à certaines séries divergentes), reste toujours à trouver un sens applicable non formellement. on a réussi à trouver un sens aux "racines des négatifs", en sortant du cadre de la racine carrée et introduisant le "nombre i", puis en montrant qu'il s'agit bien d'un calcul sur des objets mathématiques qui généralisent les calculs sur les nombres "habituels". De la même façon, dans le cadre des calculs sur des nombres positifs, on arrive à donner une "valeur" (+oo) à 1/x pour x=0. Mais pas de cadre général. Idem pour les séries divergentes, qui dans différents cadres donnent des calculs applicables.

Cordialement.

Mct92mct · 29/08/2015, 21h55

Envoyé par gg0

Vouloir n'est pas pouvoir. on voudrait aussi trouver une valeur à 1/x, pour tout x; ou à a^x pour a quelconque négatif et x quelconque.

il est pourtant naturel que le vouloir aille toujours dans le sens d'une globalisation des concepts...
Peut être que votre exemple pour 1/ x pourrait trouver une valeur intéressante pour x = 0 dans un espace plus complexe que celui que vous manipulez habituellement...
Je suis persuadé que les interdits d'aujourd'hui sont les voies de demain.

**Médiat** · 29/08/2015, 22h08

Bonsoir,

Merci de revenir aux mathématiques, la philosophie de comptoir n'a pas sa place ici !

Médiat, pour la modération

**leon1789** · 29/08/2015, 22h18

Envoyé par Mct92mct

c'est une excellente question... surtout quand on veut avoir une réponse quel que soit x...

Quand on veut parler "utilement" de sommes infinies, il faut répondre à la question... sans se débiner !

Personnellement, je vois deux réponses simples possibles.

$\text{[math]}$ La première se sert de la limite des sommes partielles (pour tout $\text{[math]}$ ) de $\text{[math]}$
à savoir
$\text{[math]}$

Pour x = 2, on obtient
$\text{[math]}$
pas de souci !

Pour x = -1, on obtient
$\text{[math]}$
qui est une limite non définie.

Pour x = 1/2, on obtient
$\text{[math]}$

$\text{[math]}$ La seconde méthode ne fixe pas x, mais analyse la convergence quand $\text{[math]}$ des sommes partielles pour tout x tel que |x|>1 :
$\text{[math]}$

Pour la valeur 2, on prend la limite quand $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ , et on obtient 2, pas de souci ;
Pour la valeur -1, on prend la limite quand $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ , et on obtient 1/2, pas de souci !
Pour la valeur 1/2, on ne peut prendre la limite quand $\text{[math]}$ puisque |x|>1 par hypothèse.

Conclusion :
La définition des sommes infinies influe directement sur le résultat. On a vue deux définitions naturelles rigoureuses qui arrivent, l'une à l'impossibilité de définir 1 - 1 + 1 -1 ... , l'autre donnant la valeur 1/2 à 1 - 1 + 1 - 1...
Avec une définition alambiquée (mais rigoureuse) des sommes infinies, on arrive à 1+2+3+4+5+... = -1/12 . Mais je vous laisse voir la définition avant de parler de cela ! Cela évitera des quiproquos sans fin.

**Médiat** · 29/08/2015, 22h35

Envoyé par leon1789

$\text{[math]}$ La seconde méthode ne fixe pas x, mais analyse la convergence quand $\text{[math]}$ des sommes partielles pour tout x tel que |x|>1 :
$\text{[math]}$

Pour la valeur -1, on prend la limite quand $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ , et on obtient 1/2, pas de souci !

Si, il y a un souci : |-1| = 1

**leon1789** · 29/08/2015, 22h47

Envoyé par Médiat

Si, il y a un souci : |-1| = 1

ah, je n'ai pas été assez clair.
$\text{[math]}$ signifie "x tend vers -1" (pas x=-1) : on peut faire tendre x vers -1 avec |x|>1

In extensio, cela donne pour tout t tel que $\text{[math]}$ :
$\text{[math]}$

pour t=-1, on obtient 1/2
pour t=1, on obtient $\text{[math]}$

**Zetalouest** · 30/08/2015, 02h23

*** Provocation ridicule, comme d'habitude ***

ces sommes dont l essentielle question est leur cohérente convergence dans un corps connu semble si mathematiquement ridicule faute d un manque de rigueur de l auteur. Elles n en sont pas moins exacts et c est ce qui vous troubla. L'imprecision est aisément comblé considérant les series formelles, puis le plongement complexe (le passage aux series formelles peut etre sauté) et le prolongement complexe en -1. Ces mathématiques sont justes, juste imprécises. Prendre la moyenne est une coicindence ici de la valeur du prolongement analytique qui coincide. Sachez cependant deux choses : d une part Euler à démontré la valeur de la somme des inverses des carrés d'entiers de manière bien formelle, négliger la convergence de telle série n est pas inintéressant, leur lien l' est, après on trouve un corps ou ça converge et cela est assez rigoureux pour convaincre. Deuxio, lorque Cauchy à présenté sa théorie de prolongement analytique à l école polytechnique, il a fait une mise en garde vis à vis de ces sommes infini qui n ont semble t il pas de sens sans le prolongement analytique. Ceci pour éviter le genre de débat ici présent. Alors pensez y, prolongement analytique !

**leon1789** · 30/08/2015, 07h34

Envoyé par Zetalouest

(...) puis le plongement complexe et le prolongement complexe en -1. (...)Alors pensez y, prolongement analytique !

Oui, c'est bien cela, prolonger la fonction Zeta : définie au début pour Re(z)>1 , puis la prolongée pour tout complexe z distinct de 1.

Mais ce qui est complètement subjectif à mes yeux, c'est d'avoir choisi un prolongement analytique pour calculer 1+2+3+4+5.... Pourquoi ce prolongement particulier ? Est-il canonique ? C'est parce-que les fonction analytique sont "rigides" ? On aurait pu prolonger par un autre type de fonction et tomber sur une valeur quelconque de 1+2+3+4+5+... , non ?

**Médiat** · 30/08/2015, 07h59

Envoyé par leon1789

ah, je n'ai pas été assez clair.

Si, mais justement, il y a un souci lorsque l'on prend un résultat valide sur un domaine, et que par un tour de passe-passe, on étend ce domaine a posteriori. Je ne dis pas que cela donne un résultat illégitime, je dis juste qu'il y a un souci, la bonne preuve c'est que ce prolongement analytique (qu'il faudrait justifier en long, en large et en travers) permet de définir une opération sur les séries, mais qui ne prolonge pas naturellement l'addition.

Un autre exemple de raisonnement invalide du même type : $\text{[math]}$ et en passant à la limite on obtient $\text{[math]}$ , ce qui est monstrueusement faux.

**leon1789** · 30/08/2015, 08h25

Ce que j'ai présenté sur les séries formelles n'est pas un tour de passe-passe : c'est simplement un prolongement par continuité à la frontière du domaine de définition, c'est très courant ! En plus, cette construction prolonge l'addition (elle s'appuie sur l'addition des séries formelles et la linéarité du passage à la limite).

Le prolongement analytique est un prolongement qui va bien au-delà de la frontière du domaine initial, qui permet prétendre savoir ce qu'il se passe en z=-1 lorsqu'on connait uniquement les choses pour Re(z)>1 : c'est bien là le tout de passe-passe, non ?

**Médiat** · 30/08/2015, 11h05

Envoyé par leon1789

Ce que j'ai présenté sur les séries formelles n'est pas un tour de passe-passe

Je n'ai rien contre les prolongements analytiques, par contre j'ai plein de choses contre ce qui entraîne des incompréhensions tenaces, cf. le titre de ce fil (qui n'est pas le premier sur le sujet). Le tour de passe-passe c'est de dire "J'ai fait un calcul pour |x| et je prétends que cela fait sens pour x = -1" sans écrire toutes les justifications nécessaires, cf. mon exemple, sauf que là, le tour de passe-passe ne mène nulle part.

Encore une fois, l'article de wikipedia est très correct sur ce sujet (our une fois, autant le dire), insistant bien sur le fait que la somme de Ramanujan n'est pas la somme usuelle, et en utilisant une notation différente pour éviter cet écueil que je dénonce depuis le début (et rien de plus)

**leon1789** · 30/08/2015, 17h37

Envoyé par Médiat

Je n'ai rien contre les prolongements analytiques, par contre j'ai plein de choses contre ce qui entraîne des incompréhensions tenaces, cf. le titre de ce fil (qui n'est pas le premier sur le sujet). Le tour de passe-passe c'est de dire "J'ai fait un calcul pour |x| et je prétends que cela fait sens pour x = -1" sans écrire toutes les justifications nécessaires, cf. mon exemple, sauf que là, le tour de passe-passe ne mène nulle part.

Je ne comprends pas bien à qui vous écrivez cela : personnellement, je n'ai jamais appliqué à x=-1 une formule établie pour |x|>1. En revanche, je prends soin de parler de limite (donc sous-entendu de prolongement par continuité). Si vous n'avez rien contre les prolongement analytiques des réels x>1 au nombre complexes distincts de 1 (ce qui n'est pas rien !), pourquoi juger le passage de |x|>1 à |x|>=1 de tour de passe passe, alors qu'il s'agit de limite sur la frontière ? En plus, manipuler les séries formelles \sum_i a_i x^i, c'est aussi manipuler des fonctions analytiques.

Envoyé par Médiat

Encore une fois, l'article de wikipedia est très correct sur ce sujet (our une fois, autant le dire), insistant bien sur le fait que la somme de Ramanujan n'est pas la somme usuelle, et en utilisant une notation différente pour éviter cet écueil que je dénonce depuis le début (et rien de plus)

Nous sommes d'accord sur cela.

**Médiat** · 30/08/2015, 17h49

Envoyé par leon1789

personnellement, je n'ai jamais appliqué à x=-1 une formule établie pour |x|>1.

Mais si, en écrivant que la limite de la somme en x = -1 vaut 1/2, alors que cette somme diverge. Vous faites exactement ce que je décris dans le message 48, il se trouve que dans mon exemple, cela ne mène nulle part, alors que dans le cas des prolongements analytique, cela mène quelque part, mais sans parler de la "somme", d'ailleurs vous semblez d'accord sur ce point.

**leon1789** · 30/08/2015, 18h08

Envoyé par Médiat

Mais si, en écrivant que la limite de la somme en x = -1 vaut 1/2, alors que cette somme diverge.

Elle diverge pour qui ? Pour ceux qui prennent comme définition de la somme la limite des sommes partielles (méthode 1 de mon message #43)
Pour ceux qui considèrent la sommation d'Abel (c'est la méthode 2 de mon message #43 en posant y = 1/x et |y|<1), alors on attribue la valeur 1/2 à la somme.

Envoyé par Médiat

Vous faites exactement ce que je décris dans le message 48, il se trouve que dans mon exemple, cela ne mène nulle part,

Votre exemple est au-delà du cadre simple dans lequel je tiens à rester (je ne manipule par les infinis comme des nombres !).
J'ai une série formelle qui est très bien définie pour |x|>1 : je ne vois pas ce qui peut empêcher de la prolonger par continuité puisque sa limite en -1 vaut 1/2...
Et cela fait sens : la sommation d'Abel est un moyen de prolonger l'addition, sans contradiction du genre mon message #21

**Médiat** · 30/08/2015, 18h39

C'est la dernière fois que je reviens sur ce point : vous calculez une limite en utilisant le fait que |x| > 1, puis vous dites " ça marche pareil pour x = -1", avouez que c'est un peu rapide, parce que si on repart du calcul de la limite, pour x = -1, vous ne trouvez rien !

Avec la même absence de justification que vous, on trouve que pour x = 1/2 on trouve -1, et pourtant vous le refusez sous prétexte que "puisque |x|>1 par hypothèse", raison tout aussi valable pour x = -1.

**leon1789** · 30/08/2015, 18h59

Envoyé par Médiat

C'est la dernière fois que je reviens sur ce point : vous calculez une limite en utilisant le fait que |x| > 1, puis vous dites " ça marche pareil pour x = -1", avouez que c'est un peu rapide, parce que si on repart du calcul de la limite, pour x = -1, vous ne trouvez rien !

Je n'ai jamais dit " ça marche pareil pour x = -1", c'est une grossière erreur de votre part de m'attribuer cela.
Par ailleurs, vous tenez absolument à repartir dans un autre sens (poser x=-1 puis constater la série divergente) car vous refusez la sommation d'Abel (étudier une série formelle puis un calcul de limite). C'est votre droit (j'en suis étonné, je pensais que vous étiez ouvert à ce sujet), mais vous ne pouvez pas l'imposer aux autres personnes.

Envoyé par Médiat

Avec la même absence de justification que vous, on trouve que pour x = 1/2 on trouve -1, et pourtant vous le refusez sous prétexte que "puisque |x|>1 par hypothèse", raison tout aussi valable pour x = -1.

La sommation d'Abel ne peut pas s'appliquer en x=1/2 car on ne peut tendre vers 1/2 sous la contrainte |x|>1, tout simplement... (cf mon message #43)

En revanche, si vous voulez trouver -1 pour x=1/2, alors il faudra peut-parler de prolongement analytique pour passer de |x|>1 à x=1/2.

**Médiat** · 30/08/2015, 19h08

En espérant, pour vous, que vos mensonges, faciles à vérifier, ne sont que l'expression de votre mauvaise foi, en tout état de cause vos méthodes rhétoriques bas de gamme sont sans intérêt !

Les autres lecteurs peuvent se reporter à mon message #44 pour savoir ce que je n'accepte pas, #48, #50 et #52 pour ceux qui n'auraient pas compris, dont vous faites visiblement partie

**leon1789** · 30/08/2015, 19h29

Envoyé par Médiat

En espérant, pour vous, que vos mensonges, faciles à vérifier,

Je constate que vous faîtes volontairement et allègrement déraper la discussion. J'avoue être choqué par vos insultes honteuses !
Vous ne connaissez pas la sommation d'Abel, étonnant, mais peu importe, cela ne vous donne pas le droit de calomnier qui que ce soit. Je demande à la modération de modérer votre message !
*** Critique de la modération ***

**leon1789** · 30/08/2015, 19h59

*** Critique de la modération ***

voici un lien https://fr.wikipedia.org/wiki/S%C3%A...ation_d.27Abel
ou celui ci http://mathtous.perso.sfr.fr/article...esinfinies.pdf

**leon1789** · 30/08/2015, 20h12

*** Critique de la modération et doublon (interdit !) ***

**Médiat** · 30/08/2015, 20h18

Bien, assez joué : on ferme !

Médiat, pour la modération

somme infinie 1+2+3+4+5+... égale à -1/12 ???

Re : somme infinie 1+2+3+4+5+... égale à -1/12 ???

Re : somme infinie 1+2+3+4+5+... égale à -1/12 ???

Re : somme infinie 1+2+3+4+5+... égale à -1/12 ???

Re : somme infinie 1+2+3+4+5+... égale à -1/12 ???

Re : somme infinie 1+2+3+4+5+... égale à -1/12 ???

Re : somme infinie 1+2+3+4+5+... égale à -1/12 ???

Re : somme infinie 1+2+3+4+5+... égale à -1/12 ???

Re : somme infinie 1+2+3+4+5+... égale à -1/12 ???

Re : somme infinie 1+2+3+4+5+... égale à -1/12 ???

Re : somme infinie 1+2+3+4+5+... égale à -1/12 ???

Re : somme infinie 1+2+3+4+5+... égale à -1/12 ???

Re : somme infinie 1+2+3+4+5+... égale à -1/12 ???

Re : somme infinie 1+2+3+4+5+... égale à -1/12 ???

Re : somme infinie 1+2+3+4+5+... égale à -1/12 ???

Re : somme infinie 1+2+3+4+5+... égale à -1/12 ???

Re : somme infinie 1+2+3+4+5+... égale à -1/12 ???

Re : somme infinie 1+2+3+4+5+... égale à -1/12 ???

Re : somme infinie 1+2+3+4+5+... égale à -1/12 ???

Re : somme infinie 1+2+3+4+5+... égale à -1/12 ???

Re : somme infinie 1+2+3+4+5+... égale à -1/12 ???

Re : somme infinie 1+2+3+4+5+... égale à -1/12 ???

Re : somme infinie 1+2+3+4+5+... égale à -1/12 ???

Re : somme infinie 1+2+3+4+5+... égale à -1/12 ???

Re : somme infinie 1+2+3+4+5+... égale à -1/12 ???

Re : somme infinie 1+2+3+4+5+... égale à -1/12 ???

Re : somme infinie 1+2+3+4+5+... égale à -1/12 ???

Re : somme infinie 1+2+3+4+5+... égale à -1/12 ???

Re : somme infinie 1+2+3+4+5+... égale à -1/12 ???

Re : somme infinie 1+2+3+4+5+... égale à -1/12 ???

Re : somme infinie 1+2+3+4+5+... égale à -1/12 ???

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