Racine carré de (( 1+i ) / ( 1-i ))^3

[Darky199]

Bonjour, j'ai du mal avec cet exercice:

Calculer la racine carrée du nombres complexe (( 1+i ) / ( 1-i ))³

Auparavant il fallait le faire pour ce nombre complexe : 5+12i, en utilisant les équations j'ai finis par trouvé les résultats.

Mais avec (( 1+i ) / ( 1-i ))³ je sais pas par où commencer... Faut-il simplifier le quotient?

Dans mon cours j'ai une démonstration sur les "Racines n-ième d'un nombre complexe" avec zⁿ = Z mais je ne la comprend pas



Merci beaucoup pour votre aide,
Bonne journée
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[ansset]

Mais avec (( 1+i ) / ( 1-i ))³ je sais pas par où commencer... Faut-il simplifier le quotient?

oui , c'est une idée comme celle de multiplier haut et bas par le conjugé de 1-i.
ce qui supprime le quotient.

[ansset]

que vaut ( 1-i)(1+i) ?

[Darky199]

En multipliant le haut et le bas par le conjugé de 1-i soit 1+i je troue (2i/2)³, ce qui donne -i...

Sinon j'ai essayé avec l'exponentielle mais je trouve un résultat qui me semble bizarre ^^'

[A voir en vidéo sur Futura]

[ansset]

oublies d'abord la puissance ( ^3)
que vaut ( 1+i)(1-i) ??????

[Darky199]

( 1+i ) / ( 1-i ) = i

[ansset]

non,
ce n'est pas ce que je t'ai indiqué comme piste.
1) pour l'instant on oublie la puissance 3
2) pour faire disparaitre le quotient, on multiplie par son conjugué.
( et (1-i)(1+i) = 2 )
donc le quotient disparait en multipliant en "haut" l'équivalent bien sur ( sous la parenthèse )
et ensuite on règle le pb de la puissance....
je ne peux être plus clair.

[ansset]

pour me répeter.
je n'ai pas proposé de diviser , mais de multiplier haut et bas par ( 1+i)
je ne peux pas être plus clair.
mais si qcq veut prendre le relai , je suis preneur.
CDT

[Darky199]

( 1+i ) / ( 1-i ) = (1+i)(1+i) / (1-i)(1+i) =(1+i+i+i²) / (1+i-i-i²) = 2i / 2 = i

[gg0]

Bon calcul.

Trouver les racines carrées de -i ne devrait pas être trop difficile. Surtout que tu as vu que (1+i)² = ....

Cordialement.

[Darky199]

Merci!! j'ai trouvé une seule racine carré: (\/2/2) - (\/2/2)i

[gg0]

Ce serait bien le seul complexe non nul qui n'a qu'une seule racine carrée. Revois la théorie ...

[ansset]

d'ailleurs, pourquoi racine carrée ?

[ansset]

( 1+i ) / ( 1-i ) = i

désolé , je n'avais pas vu cette réponse.
car elle me semblait non argumentée.
la réponse finale, elle, reste à venir.

[ansset]

il me semble que c'est (*)^3 et non ^2

[ansset]

ou alors j'ai mal compris l'énoncé

[ansset]

soit ce sont les racines cubiques, soit les racines carrées de l'ensemble donc en 3/2

[ansset]

je me complique pour rien.
reste les racines de -i , point barre.

[Darky199]

Ce serait bien le seul complexe non nul qui n'a qu'une seule racine carrée. Revois la théorie ...

Vous avez raison! Il a bien deux racines carrées: (\/2/2) - (\/2/2)i et - (\/2/2) + (\/2/2)i