Bonjour. J'ai appris que les quantificateurs existentiels et universels ne s'utilisaient pas de la même façon dans la rédaction d'une démonstration suivant qu'ils se trouvent dans la thèse ou dans l'hypothèse. Seulement, je ne vois pas comment un même quantificateur peut s'utiliser différemment alors qu'il veut toujours dire la même chose...pouvez vous m'éclairer ? Merci
Bonjour,
Qu'appelez-vous thèse et hypothèse dans ce contexte ?
Où avez-vous appris cette différence ?
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Par exemple:
"Pour démontrer une propriété universelle (du type "∀x, P(x) " ),on prend un x quelconque (c'est-à-dire que l'on ne suppose rien a priori sur cet x."
"Pour utiliser une propriété (hypothèse) universelle (du type "∀x, P(x) " ), on cherche un x particulier"
Oui, c'est assez évident que pour démontrer que pour tout x la propriété p(x) est vraie, on va démontrer p(x) pour n'importe quel x. Non ?
Quant à l'utilisation, ce qui est dit est faux. Il arrive qu'on ait besoin du fait que x est quelconque. Dans d'autres cas, on ne le fera pas.
je ne sais pas d'où tu sors ça, mais c'est un peu léger. As-tu une source ?
oui, pour le premier, ça va mais le deuxième me fait un peu tiquer.
Source: http://uel.unisciel.fr/mathematiques...re_ch7_06.html
Effectivement, c'est bien trop systématique. Même si c'est une pratique courante : Si une propriété P est vraie pour tout réel x, elle est vraie pour x=1, donc on peut utiliser P(1).
Cordialement.
Le texte cité ressemble plus à une recette de cuisine qu'à des mathématiques.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Le problème, c'est que d'une part les profs sont très à cheval sur la rédaction (si je mets "prenons x" au lieu de "soit x", je suis cuis) et d'autre part, on m'explique que ce que j'essaie de trouver est une recette de cuisine. Reconnaissez que ma situation est délicate ^^
Mais si j'ai bien compris:
Si un "pour tout x, on a P" se trouve dans ma thèse, je dois commencer par "soit x" en sachant que c'est un x quelconque.
Si un "pour tout x, on a P" se trouve dans mon hypothèse, là je dois exhiber un x (qui vérifie P) qui m'arrange ? Et je dois l'amener comment dans la démonstration ? En écrivant "prenons x =..." ?
Concernant le quantificateur existentiel:
si un "il existe x tel que P est vérifié" est dans ma thèse, je dois en fabriquer un et montrer qu'il vérifie P. Et comment amener ça dans ma démonstration ? En disant "prenons x =..." même si c'est la même chose qu'un "pour tout" dans une hypothèse(voir au-dessus) ?
si un "il existe x tel que P est vérifié" est dans mon hypothèse, je dois là aussi trouver celui qui vérifie la propriété et l'utiliser ? Car dans le lien que j'ai partagé, on parle de ce x sans l'exhiber:"prenons x tel que P(x)".
Oui, et pas par hasard : c'est axiome de généralisationEnvoyé par amateurisme
Parfois, peut-être, toujours ? Non ! Ce sont des recettes de cuisine, qui marchent, parfois !
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Amatheurisme,
tu ne t'en sortiras pas en cherchant des règles valables tout le temps, compliquée à apprendre.
Si tu rédiges en comprenant ce que tu fais, ton prof sera tellement content de trouver des maths dans une copie qu'il acceptera tes façons d'écrire. D'ailleurs, si ton prof exige "soit x un réel ...", plutôt que "Prenons x, un réel ...", c'est un manque d'intelligence du français, pas une exigence mathématique. Laisse courir, écris le français qu'il comprend, et plains-le.
En tout cas, ta distinction "thèse/hypothèse" est bizarre, pas mathématique; en maths, on parle éventuellement de conséquence, de conclusion. Et tu perds ton temps : Cherche à comprendre ce que tu dois prouver, ce que tu connais au départ.
Par exemple, supposons que tu dois prouver que tout entier strictement supérieur à 1 admet un diviseur premier, ce qui s'écrit
En français : Pour tout entier n strictement supérieur à 1, il existe un entier premier p tel que n est un multiple de p.
Comme tu as compris ce qu'il faut démontrer, tu vas prendre un entier n quelconque (ce n'est pas toi qui décides) au moins égal à 2 :
Soit un entier
Puis chercher à prouver que ce n là a un diviseur premier :
Soit n est premier, et n=n.1, donc n a un diviseur premier, lui-même
Soit n n'est pas premier, et il a un diviseur strict m, tel que 1<m<n
Arrivé là, on voit qu'on rentre dans une boucle éventuelle où m remplace n, mais en étant strictement inférieur. On peut alors soit procéder algorithmiquement (on recommence jusqu'à obtenir m premier - la boucle finit car une suite d'entiers strictement décroissante est finie), soit tout reprendre dans une preuve par récurrence (sans doute plus simple à écrire), en utilisant la récurrence totale :
Démontrons pas récurrence que "pour tout entier n strictement supérieur à 1, il existe un entier premier p tel que n est un multiple de p."
On commence donc avec n=2, qui a un diviseur premier : 2 lui-même
Supposons que "pour tout entier n strictement supérieur à 1 et inférieur à N, il existe un entier premier p tel que n est un multiple de p." Alors :
Soit N+1 est premier, et N+1=(N+1).1, donc N+1 a un diviseur premier, lui-même
Soit N+1 n'est pas premier, et il a un diviseur strict m, tel que 1<m<N+1 donc m a un diviseur premier. Etc.
Voilà, je ne me suis absolument pas posé la question de "est-ce "il existe" ou "quel que soit" dans la conclusion, j'ai construit une preuve cohérente.
Cordialement.
Dernière modification par Médiat ; 21/12/2015 à 17h28. Motif: Latex
Merci pour vos réponses et merci pour l'exemple.
Je vais abandonner l'idée de la généralisation et y aller au cas par cas alors.
Bonne soirée à vous
