problème avec fonction inverse

[Uhue]

Bonjour. Voilà j'ai quelques soucis avec 2 équations de fonction inverse. j'ai lu sur un manuel que :

l'inverse de y=ax+b est : y=(x-b)/a ; mon raisonnement : 1/(ax+b)
et l'inverse de y=x^n est ; là je ne sais pas

et pareil j'ai du mal à visualiser sur un graphe que l'inverse d'une fonction donnée correspond à une rotation de 180 degrés par rapport à l'axe des ordonnées du premier quadrant.
merci
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[PlaneteF]

Bonsoir,

l'inverse de y=ax+b est : y=(x-b)/a ; mon raisonnement : 1/(ax+b)

J'ai l'impression que tu mélanges bijection réciproque et fonction inverse (au sens non-anglophone).

et l'inverse de y=x^n est ; là je ne sais pas

Tu ne sais pas quoi ?

et pareil j'ai du mal à visualiser sur un graphe que l'inverse d'une fonction donnée correspond à une rotation de 180 degrés par rapport à l'axe des ordonnées du premier quadrant.

... keseksa ?


Cordialement

[gg0]

Bonjour.

Quel mélange !!!
D'ailleurs, plutôt que de parler de fonction inverse, on parle de fonction réciproque, ce qui évite de mélanger avec l'inverse d'un nombre, l'inverse de x est 1/x (a condition, évidemment que x soit non nul).
Ensuite, "y=ax+b" n'est pas une fonction, mais une équation ou une égalité. Par contre, on peut chercher si la fonction x-->ax+b a une fonction réciproque. Ce n'est pas le cas si a=0. Par contre, si a est non nul, il y a bien une fonction réciproque x-->(x-b)/a.
On peut le prouver facilement avec la définition de la fonction réciproque. Si tu veux qu'on t'aide à le prouver, dis-nous quelle définition de la fonction réciproque tu as (définition complète, avec tous les mots).
car ce que tu racontes est absolument sans rapport : "mon raisonnement : 1/(ax+b)" Tu as écrit ici l'inverse du nombre ax+b, c'est exactement la confusion, le mélange dont je parlais au début. de plus, en quoi 1/(ax+b) a-t-il à voir avec (x-b)/a ??

Donc si tu veux avancer sur ce sujet, apprends le cours.

Cordialement.

[Uhue]

alors en effet je n'avais pas du tout la bonne fonction en tête et du coup ça change tout. La fonction réciproque est définit par f-1(f(x)) ; exemple y=f(x) x=f(y) (état antécédent)
donc pour y=ax+b on isole x et je trouve x=(y-b)/a
par contre pour la fonction réciproque de y=x^n, je ne sais pas comment faire.

graphiquement j'ai lu que si on faisait tourner le plan de 180 degrés autour de la bissectrice du premier quadrant d'une fonction donnée, on obtenait sa fonction réciproque sauf que quand j'essaye de la visualiser je ne trouve pas la réponse donnée sur le graphique. Merci de l'aide.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Toujours les mêmes mélanges, et le "je fais" à la place de "je comprends".

Si f est une fonction injective (deux antécédents n'ont jamais la même image), alors on peut définir une fonction réciproque f^-1 par le procédé suivant : Si x est une image, donc s'il existe un y tel que f(y)=x, alors il n'y en a qu'un, et c'est lui qu'on appelle f^-1(x).
Une autre façon de voir est de noter que y=f^-1(x) signifie exactement x=f(y). ou encore, y=f(x) signifie exactement x=f^-1(y) (attention, la variable de la fonction est y, ici, pas x)
Si f n'est pas injective, alors il n'y a pas de fonction réciproque (on ne peut pas choisir à priori parmi les antécédents).

Pour f définie par f(x)=ax+b, l'égalité y=ax+b ne donne de valeur de x que si a est non nul (tu as encore oublié ça malgré mon rappel !!)
Si a est non nul, on trouve x=(y-b)/a=f^-1(y), donc f^-1(x)=(x-b)/a.

Pour la fonction f: x-->xⁿ, si n est pair, la fonction n'est pas injective. Pas de réciproque ! Bien évidemment, comme tu n'as pas défini clairement ce que tu appelles fonction, j'ai supposé qu'il s'agit des fonctions numériques habituelles, définies sur tout R.
Par contre, pour n impair, il y a une réciproque, et justement, elle est appelée racine n-ième et notée . Donc pas de démonstration, puisque cette notation signifie justement "fonction réciproque de x-->xⁿ".

Enfin ce que tu racontes sur l'aspect graphique est totalement faux. Tu as mal compris une propriété assez facile à comprendre : Quand on passe de f à f^-1, on échange les rôles de x et y, ce qui revient, graphiquement, en repère orthonormé, à faire une symétrie par rapport à la première bissectrice.
Donc pas de rotation de 180°.

Cordialement.

[Uhue]

Pour le graphe, ça correspond parfaitement à ce que tu as dit. Merci ! Et c'est plus clair comme ça.

[PlaneteF]

Bonjour,

Pour le graphe, ça correspond parfaitement à ce que tu as dit. Merci ! Et c'est plus clair comme ça.

Le mieux c'est même de le démontrer par toi-même.

Cdt