équations différentielles séparation des variables

[cam95]

bonjour,
je cherche à résoudre l'équation différentielle x'(t)=ax(t)(1-x(t)) avec a>0 par la méthode de séparation des variables
j'ai remarqué que les solutions constance sont la solution constante nulle ou la solution constante égale à 1.
pour résoudre j'ai fait
x'(t)/(x(t)-x^2(t)=a
seulement mon problème c'est que je n'arrive pas à intégrer le membre de gauche...
comment puis je faire ?
merci
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[God's Breath]

Décomposer la fraction rationnelle en éléments simples ?

[cam95]

a oui effectivement ! merci je ne pense jamais à cette fameuse décomposition en élément simple.
par contre il y a t'il moyen de prouver et l'unicité de la l'existence de la solution parce que je pense qu'on ne peut pas montrer que la fonction second membre est globalement lipschitzienne par rapport à x et uniformément par rapport à y....
merci bcp pour votre aide

[cam95]

parce que le truc c'est que pour faire la méthode de séparation des variables il faut que je divise par x(t)-x^2(t) il faut donc que ce soit différent de 0 je le justifie non croisement des solutions mais il me semble qu'il y a des condition que la fonction second membre soit uniformément lipschitzienne

[A voir en vidéo sur Futura]

[God's Breath]

Le second membre est une fonction de (t,x) de classe C¹ sur R² : le théorème de Cauchy-Lipschitz assure l'existence et l'unicité d'une solution maximale pour pour toute condition initiale x(t₀)=x₀.

De toutes façons, puisque les solutions sont explicitement connues ; il est facile de vérifier les problèmes d'existence, d'unicité, de définition des solutions maximales, etc.

[cam95]

merci ! mais ça c'est Cauchy-Lipschitz local non ? donc ça ne doit pas garantir juste l'existence et l'unicité d'une solution LOCALE ?
merci

[God's Breath]

Ca garantit l'existence d'une solution maximale : les solutions constantes sont évidemment maximales, ce qui permet de déterminer explicitement les autres solutions et d'étudier directement les problèmes globaux.