interpolation de, point

[PSR B1919+21]

Bonjour à tous,
Je suis habituellement adepte du forum de physique et j'aurais besoin de vos lumières de matheux.
J'ai fait un calcul d'atténuation de générateur X dans du plomb avec un code Monte-carlo et j'aimerais pouvoir trouver une équation permettant de lisser mes, points de resultats.
Dans des publications on trouve que les resultats peuvent être approchés par l'équation :

Nota : latex semble donner des choses étranges ! e veut dire "exp" et la flèche dans l'exp n'existe pas ...
La courbe de T en fonction de x ressemble à :




Et je recherche les paramètres alpha, beta, gamma permettant d'approximer mes points de résultats,
Merci pour l'aide que vous pourriez m'apporter,
PSR

Formule corrigée
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[invite52487760]

Bonjour,

Je ne suis pas sûr de pouvoir t'aider, mais, je vais tenter ( Mes propos sont à prendre avec modération, car je ne maîtrise pas bien ça ).
D'abord tu cherches plutôt l'expression d'une fonction et non d'une équation, même si une fonction est une équation ... Mais, il est préférable de dire fonction ici.
ensuite, tu es entrain de chercher les paramètres d'une ce qu'on appelle une régression exponentielle. Alors, tu transformes la régression exponentielle en régression linéaire qui est une régression plus simple grâce à la fonction Logarithme.
Pour plus d'infos, visite sur ce lien : http://support.articque.com/samples/doc/reg_exp.htm

Cordialement.

[invite52487760]

L'idée est expliquée là de manière simple : https://www.youtube.com/watch?v=yzx4Ybio_nc
Cordialement.

[Dlzlogic]

Bonjour,
J'ai un outil qui fait très bien cela. C'est de la régression linéaire à 3 dimensions. Soit vous me donnez vos observations et je calcule la fonction, soit je vous explique le détail pour que vous puisiez le coder avec votre langage préféré, soit je vous donne le code C.
Bonne journée.

[A voir en vidéo sur Futura]

[PSR B1919+21]

Bonsoir,
Je voici mes données :
0 1
0.1 0.252
1 9.44e-3
2 6.83e-4
3 6.47e-5
4 6.82e-6
5 7.48e-7
6 9.07e-8
7 1.11e-8
8 1.49e-9
9 1.39e-10
10 2.25e-11
Je suis intéressé pour que vous me fassiez un calcul et si c'est convaincant votre méthode,
Merci
PSR

[Dlzlogic]

Bonsoir,
Suivant les hypothèses que vous avez indiquées, une donnée est constituée de 3 valeurs. Or dans votre liste, il n'y en a que 2 par point.
Avec 2 valeurs (X,Y) la solution est simple et traitée par exemple avec Excel.

[leon1789]

Bonjour
Depuis le début, il est clair que la fonction recherchée est une fonction de x , avec les paramètres alpha, beta, gamma.
Donc c'est normal d'avoir des couples en données (....et pas des triplets )

Pour ma part, j'ai lancé des calculs dont voici les résultats :
alpha = 65/30
beta = 14.7
gamma = 2/3

Mais cela ne donne pas vraiment satisfaction, il y a beaucoup de grosses erreurs relatives par rapport aux données, des erreurs de l'ordre de 20% ... Mais je n'ai pas trouvé de meilleurs valeurs de paramètres pour les données présentées. A mon avis, soit les données sont très imprécises, soit le modèle de fonction étudiée n'est pas adapté.

[PSR B1919+21]

Bonjour
Depuis le début, il est clair que la fonction recherchée est une fonction de x , avec les paramètres alpha, beta, gamma.
Donc c'est normal d'avoir des couples en données (....et pas des triplets )

Pour ma part, j'ai lancé des calculs dont voici les résultats :
alpha = 65/30
beta = 14.7
gamma = 2/3

Mais cela ne donne pas vraiment satisfaction, il y a beaucoup de grosses erreurs relatives par rapport aux données, des erreurs de l'ordre de 20% ... Mais je n'ai pas trouvé de meilleurs valeurs de paramètres pour les données présentées. A mon avis, soit les données sont très imprécises, soit le modèle de fonction étudiée n'est pas adapté.

Bonjour Leon1789,
Ce qui ne vous donne pas satisfaction me paraît très bon ...
Voici sous forme de courbes nos résultats comparés
La question subsidiaire est donc votre méthode permettant d'arriver à ces résultats (je vais avoir d'autres données à calculer)
Merci beaucoup
PSR

[leon1789]

Votre dessin donne une bonne impression car l'échelle employée est logarithmique en Y, si bien que les différences relatives entre vos données (X,Y) et les couples calculés par la fonction (X, T(X)) sont complètement "aplaties". Faites les calculs T(1), T(2), ...T(10), vous allez voir

Pour obtenir ces résultats, on peut utiliser facilement un tableur et minimiser les écarts entre les données et la fonction paramétrée (avec un solveur intégré)

[PSR B1919+21]

Votre dessin donne une bonne impression car l'échelle employée est logarithmique en Y, si bien que les différences relatives entre vos données (X,Y) et les couples calculés par la fonction (X, T(X)) sont complètement "aplaties". Faites les calculs T(1), T(2), ...T(10), vous allez voir

Pour obtenir ces résultats, on peut utiliser facilement un tableur et minimiser les écarts entre les données et la fonction paramétrée (avec un solveur intégré)

Bonsoir,
Je conçois que d'un point de vue mathématique un écart de 20 % soit intolérable. Néanmoins d'un point de vue utilisation en physique, ces résultats sont acceptables.
En fait j'ai effectué un calcul de T (x) (seul possible physiquement dans mon cas) mais le resultat d'intérêt est la fonction inverse x (T) c'est à dire quelle épaisseur de plomb x pour une transmission de valeur T. D'où l'intérêt d'une fonction analytique permettant d'avoir T=f (x) et pouvoir calculer sa fonction inverse x=g(T).
J'ai donc étudié cette fonction inverse avec les paramètres que vous avez bien voulu me calculer et les écarts sont très faibles : je suis donc très satisfait.
Néanmoins si vous pouviez détailler votre méthode pour calculer les paramètres alpha, beta, gamma j'en serais ravi
Merci
PSR

[Dlzlogic]

Bonsoir,
Naturellement, ma première proposition tient toujours.
L'abaque présentée dans le premier post m'a fait conclure à une fonction à deux variables. Si je ne suis trompé, je vous en demande pardon.
Donc quel est votre problème, vous avez une fonctions avec 3 paramètres a, b, c ? Vous avez des observations X, Y ?
Il est vrai que certains outils, tels que Wolframs permettent de résoudre certains problèmes, mais si j'ai bien compris, ce n'est pas votre préoccupation.
A mon avis, dans tous les cas le problème revient à trouver une ou des fonctions telle que Z = f(a, b, c, ...)
Pour mémoire, le niveau de précision est sans grande importance, ce qui est important est de trouver la valeur la plus probable et la précision de ce résultat.

[PSR B1919+21]

Bonsoir,
En fait j'ai des "observations" (x, T) et je veux interpoler ces observations par la fonction qui m'est imposée (post 1) en ajustant trois paramètres alpha, beta et gamma.
Depuis j'ai réfléchi. En fait en regardant la fonction pour des valeurs de x imporantes il faut considérer ln (T) qui est une droite de coefficient directeur alpha (on néglige le -beta/alpha). Pour des x faibles j'ai considéré le développement limité de exp (alpha.gamma.x) et je déduis beta, ensuite je peux recalculer gamma pour des x important avec ln (T).
Je conçois que ce n'est pas un raisonnement puriste de matheux (désolé) mais cela donne de bons résultats.
PSR

[Dlzlogic]

Bonsoir,
Que le raisonnement soit puriste ou non, ça n'a aucune importance. L'important est qu'à partir des hypothèses que vous avez (fonction) et des données que vous avez observées, vous trouviez le bon (meilleur) résultat.
Pour l'instant, je ne comprends pas.

[leon1789]

PSR,
vos idées sont bonnes, mathématiquement !
Vous travaillez (votre graphe est construit comme cela) avec ln(T) , ok.
D'après votre formule,

Je reprends votre idée d'asymptote quand x va vers l'infini :
après calcul, je trouve : asymptote en l'infini
Du coup, vous obtenez la valeur de (coefficient directeur de la droite)

Je reprends votre idée de développement limité en x=0 :
après calcul, je trouve : la tangente en 0
Du coup, vous obtenez la valeur de (puisqu'on connait )

Pour la valeur de , on peut reprendre l'équation de l'asymptote en l'infini, car son coefficient constant est .

[leon1789]

Pour mémoire, le niveau de précision est sans grande importance, ce qui est important est de trouver la valeur la plus probable et la précision de ce résultat.

Pour l'instant, je ne comprends pas (bis) : la précision, c'est important ou pas ?
...quant à trouver les valeurs les plus probables, il faudrait placer un contexte de probabilité, ce qui n'est pas (a priori).

[leon1789]

Je reprends votre idée d'asymptote quand x va vers l'infini :
après calcul, je trouve : asymptote en l'infini
Du coup, vous obtenez la valeur de (coefficient directeur de la droite)

Je reprends votre idée de développement limité en x=0 :
après calcul, je trouve : la tangente en 0
Du coup, vous obtenez la valeur de (puisqu'on connait )

Pour la valeur de , on peut reprendre l'équation de l'asymptote en l'infini,
car son coefficient constant est .

Avec cela, on trouve :

[PSR B1919+21]

PSR,
vos idées sont bonnes, mathématiquement !
Vous travaillez (votre graphe est construit comme cela) avec ln(T) , ok.
D'après votre formule,

Je reprends votre idée d'asymptote quand x va vers l'infini :
après calcul, je trouve : asymptote en l'infini
Du coup, vous obtenez la valeur de (coefficient directeur de la droite)

Je reprends votre idée de développement limité en x=0 :
après calcul, je trouve : la tangente en 0
Du coup, vous obtenez la valeur de (puisqu'on connait )

Pour la valeur de , on peut reprendre l'équation de l'asymptote en l'infini, car son coefficient constant est .

Bonsoir Léon,
Je suis arrivé exactement aux mêmes conclusions et cela fonctionne assez bien,
J'ai juste dû ajouter es valeurs pour des x faibles et du coup le lissage est à moins de 10%
PSR