Suite

**amine1234** · 23/05/2016, 16h08

Bonjour ,on considère une fonction $\text{[math]}$
Si on suppose que la limite quand $\text{[math]}$ tend vers l'infini de $\text{[math]}$ est nulle pour tout $\text{[math]}$ .Peut on trouver une sous suite de $\text{[math]}$ qui converge dans $\text{[math]}$ ?
Merci

**Tryss2** · 23/05/2016, 16h48

Je vais supposer que tes $\text{[math]}$ sont dans $\text{[math]}$ ...

Alors $\text{[math]}$ qui est intégrable. De plus, $\text{[math]}$ simplement presque partout.

On peut alors appliquer le théorème de convergence dominée :

$\text{[math]}$

Donc si $\text{[math]}$ , on a nécessairement la suite $\text{[math]}$ identiquement nulle.

Mais si $\text{[math]}$ , alors on ne peut rien dire, et il n'y a généralement pas convergence (vu que quelque soit la suite $\text{[math]}$ )

**amine1234** · 23/05/2016, 17h11

Bonjour Tryss voici le probleme que je suis en train de resoudre:
Dans un exercice on considère un opérateur
$\text{[math]}$ (où $\text{[math]}$ est un polynome) avec domaine $\text{[math]}$ .

$\text{[math]}$ est un operateur positif On suppose que $\text{[math]}$ vérifie:

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ où $\text{[math]}$ est une fonction dans $\text{[math]}$ qui tend vers $\text{[math]}$ quand $\text{[math]}$ tend vers $\text{[math]}$

On veut montrer que $\text{[math]}$ est à résolvante compacte.

Pour cela on suppose qu'il n'est pas à résolvante compacte .
Donc il existe une suite $\text{[math]}$ tel que :

1) $\text{[math]}$ converge faiblement vers $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$
2) $\text{[math]}$
3) $\text{[math]}$ constante

on considère une partition de l'unité $\text{[math]}$ avec
pour $\text{[math]}$ on a :
1) $\text{[math]}$ sur $\text{[math]}$
2) $\text{[math]}$
3) $\text{[math]}$

On a donc pour tout $\text{[math]}$ :

$\text{[math]}$

*)D'une part on a;
$\text{[math]}$

**)Et d'autre part on a :
$\text{[math]}$

$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
On $\text{[math]}$ car $\text{[math]}$ est bornée.

Ainsi $\text{[math]}$
On a limite quand $\text{[math]}$ tend vers l'infini de $\text{[math]}$ (Par hypothèse sur $\text{[math]}$ )

Donc limite quand $\text{[math]}$ tend vers l'infini de $\text{[math]}$ est nulle.

Ici j'ai besoin de votre aide pour montrer qu'à l'aide d'un procédé diagonale on peut extraire une sous suite de $\text{[math]}$ convergente (donc cette sous suite converge vers $\text{[math]}$ car $\text{[math]}$ converge faiblement vers $\text{[math]}$ ) et on obtient une contradiction avec le fait que $\text{[math]}$

Pouvez vous m'aidez?Merci.

**amine1234** · 23/05/2016, 17h36

Bonjour Tryss voici le probleme que je suis en train de resoudre:
Dans un exercice on considère un opérateur
$\text{[math]}$ (où $\text{[math]}$ est un polynome) avec domaine $\text{[math]}$ .

$\text{[math]}$ est un operateur positif On suppose que $\text{[math]}$ vérifie:

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ où $\text{[math]}$ est une fonction dans $\text{[math]}$ qui tend vers $\text{[math]}$ quand $\text{[math]}$ tend vers $\text{[math]}$

On veut montrer que $\text{[math]}$ est à résolvante compacte.

Pour cela on suppose qu'il n'est pas à résolvante compacte .
Donc il existe une suite $\text{[math]}$ tel que :

1) $\text{[math]}$ converge faiblement vers $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$
2) $\text{[math]}$
3) $\text{[math]}$ constante

on considère une partition de l'unité $\text{[math]}$ avec
pour $\text{[math]}$ on a :
1) $\text{[math]}$ sur $\text{[math]}$
2) $\text{[math]}$
3) $\text{[math]}$

On a donc pour tout $\text{[math]}$ :

$\text{[math]}$

*)D'une part on a;
$\text{[math]}$

**)Et d'autre part on a :
$\text{[math]}$

$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
On $\text{[math]}$ car $\text{[math]}$ est bornée.

Ainsi $\text{[math]}$
On a limite quand $\text{[math]}$ tend vers l'infini de $\text{[math]}$ (Par hypothèse sur $\text{[math]}$ )

Donc limite quand $\text{[math]}$ tend vers l'infini de $\text{[math]}$ est nulle.

Ici j'ai besoin de votre aide pour montrer qu'à l'aide d'un procédé diagonale on peut extraire une sous suite de $\text{[math]}$ convergente (donc cette sous suite converge vers $\text{[math]}$ car $\text{[math]}$ converge faiblement vers $\text{[math]}$ ) et on obtient une contradiction avec le fait que $\text{[math]}$

Pouvez vous m'aidez?Merci.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite52487760 · 23/05/2016, 19h28

Bonjour,

Ce fil a -t-il un lien avec l'autre fil qui s'intitule : procédé diagonal ?

Cordialement.

**amine1234** · 23/05/2016, 19h37

oui il y a une difference ici on a limite quand $\text{[math]}$ tend vers l'infini de $\text{[math]}$ est nulle pour tout $\text{[math]}$ et je veux montrer qu'à l'aide d'un procédé diagonal on peut extraire de $\text{[math]}$ une suite convergente .

invite52487760 · 23/05/2016, 19h56

amine1234 :

Peux tu insérer une copie de ta série TD où est extrait cet exo ? Tu insères tout l'exo ...

**amine1234** · 23/05/2016, 20h02

C'est une Proposition donnée dans le cours.
voici la proposition:
on considère l'opérateur
$\text{[math]}$ (où $\text{[math]}$ est un polynome) avec domaine $\text{[math]}$ .

$\text{[math]}$ est un operateur positif
On suppose que $\text{[math]}$ vérifie:

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ où $\text{[math]}$ est une fonction dans $\text{[math]}$ qui tend vers $\text{[math]}$ quand $\text{[math]}$ tend vers $\text{[math]}$

Alors $\text{[math]}$ est à résolvante compacte.

**amine1234** · 23/05/2016, 22h16

on pose $\text{[math]}$ . on a pour $\text{[math]}$ fixé $\text{[math]}$ donc pour $\text{[math]}$ fixé $\text{[math]}$ est bornée
on a $\text{[math]}$ est bornée donc il existe $\text{[math]}$ une extraction tel que $\text{[math]}$ converge
$\text{[math]}$ est bornée donc il existe $\text{[math]}$ une extraction tel que $\text{[math]}$ converge
on a ainsi $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ converge .
on trouve donc une extraction $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ converge .
ce que j'ai écrit est juste ou faux?

invite52487760 · 23/05/2016, 22h22

$\text{[math]}$ converge vers $\text{[math]}$ pour tout $\text{[math]}$ , donc, toute sous suite d'une suite convergente vers $\text{[math]}$ converge vers $\text{[math]}$ , pour tout $\text{[math]}$ , on fixe : $\text{[math]}$ , alors : $\text{[math]}$ converge vers $\text{[math]}$ , on extrait une première sous suite $\text{[math]}$ qui converge vers $\text{[math]}$ , on fait la même chose pour $\text{[math]}$ qui converge vers $\text{[math]}$ , donc admet une sous suite $\text{[math]}$ qui converge vers $\text{[math]}$ , par réccurence, $\text{[math]}$ converge vers $\text{[math]}$ , et puisque : $\text{[math]}$ est une suite extraite de $\text{[math]}$ , alors : $\text{[math]}$ . c'est une esquisse de la méthode à suivre, à toi de la corriger et l'ajuster, je t'ai écrit dans l'autre fil la méthode à suivre.

**amine1234** · 23/05/2016, 22h28

d'accord maintenant comment prouver à partir de ce résultat que $\text{[math]}$ converge vers 0 en norme? pour obtenir une contradiction avec le fait que $\text{[math]}$

invite52487760 · 23/05/2016, 22h42

Qu'est ce que j'ai fait. c'est fatiguant. j'ai appliqué le procédé diagonal à $\text{[math]}$ et non à $\text{[math]}$ puisque tu aboutit à la formule : $\text{[math]}$ qui tend vers $\text{[math]}$ lorsque $\text{[math]}$ tend vers l'infini. toi tu dis qu'il faut appliquer le procédé diagonal pour extraire une sous suite à $\text{[math]}$ , or c'est $\text{[math]}$ qui tend vers l'infini, donc, c'est $\text{[math]}$ qu'il faut lui appliquer un procédé diagonal et non $\text{[math]}$ non ?. Bref, je ne comprends rien à ton histoire.

**amine1234** · 23/05/2016, 22h44

Je croit q'on doit fixer $\text{[math]}$ pour obtenir une suite borné ...(comme j'ai fait) .et ensuite on essaye de prouver à partir de ce résultat que $\text{[math]}$ converge vers 0 en norme? pour obtenir une contradiction avec le fait que $\text{[math]}$

invite52487760 · 23/05/2016, 23h09

D'accord, $\text{[math]}$ pour tout $\text{[math]}$ .
Par définition :
$\text{[math]}$
Donc :
$\text{[math]}$
Si $\text{[math]}$ est une suite extraite de $\text{[math]}$ , alors : $\text{[math]}$ est croissante, et par récurrence, en montre que : $\text{[math]}$ . et donc, on particulier :
$\text{[math]}$
et donc : $\text{[math]}$
peut-t-on conclure que : $\text{[math]}$ ? telle est la question qu'il faut lui trouver une réponse d'urgence.

si $\text{[math]}$ est bornée, peut être que oui.

**amine1234** · 23/05/2016, 23h13

pour $\text{[math]}$ fixé on a $\text{[math]}$ converge vers $\text{[math]}$ quand $\text{[math]}$ tend vers l'infinie or $\text{[math]}$ converge faiblement vers 0 donc ||x^m_{h(n)} || converge vers 0 quand $\text{[math]}$ tend vers l'infini.Non?

invite52487760 · 23/05/2016, 23h17

C'est quel théorème ?

invite52487760 · 23/05/2016, 23h21

Ne change pas de notations stp. Je ne comprends pas les notations que tu utilises. Ne compliques pas les choses pour moi pour que je puisse voir plus claire.

**amine1234** · 23/05/2016, 23h25

selon moi on doit répondre comme suit:
on pose $\text{[math]}$ . on a pour $\text{[math]}$ fixé $\text{[math]}$ donc pour $\text{[math]}$ fixé $\text{[math]}$ est bornée.

on a $\text{[math]}$ est bornée donc il existe $\text{[math]}$ une extraction tel que $\text{[math]}$ converge
$\text{[math]}$ est bornée donc il existe $\text{[math]}$ une extraction tel que $\text{[math]}$ converge
on a ainsi $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ converge .
on trouve donc une extraction $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ converge .
comme $\text{[math]}$ converge faiblement vers $\text{[math]}$ par hypothèse on a $\text{[math]}$ converge vers 0 quand $\text{[math]}$ tend vers l'infini.
Non?

invite52487760 · 23/05/2016, 23h33

Ce n'est pas $\text{[math]}$ qui converge faiblement vers $\text{[math]}$ mais $\text{[math]}$ , non ? Il y'a une différence? Si tu as l'intuition que c'est vrai, alors il faut dire comment ?

**amine1234** · 23/05/2016, 23h36

$\text{[math]}$ est une application croissante $\text{[math]}$ donc quand $\text{[math]}$ tend vers l'infini $\text{[math]}$ tend vers l'infini donc $\text{[math]}$ converge faiblement vers 0

invite52487760 · 23/05/2016, 23h40

C'est pas cohérent le passage de converge vers converge vers 0.

**amine1234** · 23/05/2016, 23h45

maintenant on a $\text{[math]}$ converge vers 0 comment montrer que $\text{[math]}$ converge vers 0 et trouver une contradiction avec ||u_h(n)||=1?

invite52487760 · 23/05/2016, 23h49

On applique l'idée qui dit que si $\text{[math]}$ est bornée et que $\text{[math]}$ , alors : $\text{[math]}$ , non ?

**amine1234** · 23/05/2016, 23h52

non on a si $\text{[math]}$ est bornée et que $\text{[math]}$ , alors : $\text{[math]}$ , non ?[/QUOTE]

invite52487760 · 23/05/2016, 23h59

D'accord, et si on applique le lemme qui affirme que si $\text{[math]}$ est bornée et ne tend pas vers $\text{[math]}$ à l'infini, et que : $\text{[math]}$ , alors : $\text{[math]}$ , c'est pas correct ?

**amine1234** · 24/05/2016, 00h07

dans notre cas on a une suite qui depond de n et l'autre depond de m

invite52487760 · 24/05/2016, 00h12

Non tous les deux dépendent de $\text{[math]}$ : $\text{[math]}$

**amine1234** · 24/05/2016, 00h15

et non pas tout les deux depond de n qu'on fait tendre vers l'infini donc on ne peut pas utiliser ton lemme

invite52487760 · 24/05/2016, 00h18

Tu fais semblant de pas comprendre ? c'est juste une erreur de frappe.
Non tous les deux dépendent de $\text{[math]}$ : $\text{[math]}$

**amine1234** · 24/05/2016, 08h40

Bonjour chentouf
en fait je suis pas convaincu du lemme .Pouvez vous m'envoyer le lien où vous l'avez trouvé

Suite

Suite

Re : suite

Re : Suite

Re : Suite

Re : Suite

Re : Suite

Re : Suite

Re : Suite

Re : Suite

Re : Suite

Re : Suite

Re : Suite

Re : Suite

Re : Suite

Re : Suite

Re : Suite

Re : Suite

Re : Suite

Re : Suite

Re : Suite

Re : Suite

Re : Suite

Re : Suite

Re : Suite

Re : Suite

Re : Suite

Re : Suite

Re : Suite

Re : Suite

Re : Suite

Discussions similaires

Suite récurrente linéaire d'ordre 2 et suite intermédiaire géométrique

quelle est la manipulation a suivre pour passer la suite 1 a la suite 2

egalité de suite (2 façons d'exprimer la même suite)[1ere S]