Pourquoi les segments ne sont-ils pas tous égaux ?

[andretou]

Bonjour à tous
Je me suis réveillé ce matin avec un petit problème de segments...
En effet :
1/ tout segment est constitué d'un alignement continu de points ;
2/ tout segment contient une infinité de points ;
3/ deux segments de longueurs différentes contiennent exactement autant de points l'un que l'autre (puisque dans le cas d'un triangle rectangle, à tout point de l'hypothénuse correspond un unique point du côté adjacent par la fonction cosinus, et inversement) ;
4/ donc, puisque deux segments de longueurs différentes contiennent exactement le même nombre de points, alors ces deux segments sont nécessairement égaux !...

Evidemment, dans la vraie vie, on n'a pas de problème, on construit des segments de toutes les longueurs que l'on veut sans aucune difficulté... Il est même impossible de construire deux segments de longueurs strictement égales.
Mais qu'est-ce qui différencie fondamentalement deux segments de longueurs différentes, dans la mesure où ils contiennent exactement le même nombre de points ?

Merci d'avance pour vos réponses
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[invite9dc7b526]

Par égaux tu veux dire de longueurs égales?

[Médiat]

Bonjour,

Cette éternelle erreur qui consiste à penser que des ensembles infinis pourraient avoir un "nombre d'éléments" ...

[andretou]

Yes !
segments égaux = segments de même longueur

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9dc7b526]

C'est une des difficultés que rencontre l'intuition à propos des ensembles infinis: les points de deux segments de longueurs différentes peuvent être mis en correspondance bi-univoque et l'intuition peut faire penser que les points du segment le plus long sont en quelque sortes plus espacés que ceux du segment le plus court, mais en fait il n'y a pas d'espace entre les points.

[andretou]

Bonjour,

Cette éternelle erreur qui consiste à penser que des ensembles infinis pourraient avoir un "nombre d'éléments" ...

Un segment n'est-il pas constitué de points ???

[Médiat]

Quel rapport ?

Par contre vous auriez pu relire une réponse qui vous a déjà été donnée : http://forums.futura-sciences.com/ma...ml#post5679457

[Resartus]

Bonjour,
Pour dire que deux ensembles contiennent le même nombre d'éléments, il faut qu'on puisse trouver une bijection entre les deux. On dit alors qu'ils ont le même cardinal. Cela ne veut absolument pas dire qu'il sont "égaux".

Les difficultés commencent quand il y a un nombre infini d'éléments, et qu'on essaye de comparer ces cardinaux infinis entre eux.

Bien que ces cardinaux infinis soient en nombre infini, on s'aperçoit qu'on a du mal à en trouver beaucoup en mathématiques usuelles.

Le premier cardinal infini est celui du dénombrable : aleph0 (je vais l'écrire N0) qui est le cardinal de N, il est assez facile de montrer de trouver des bijections montrant que c'est aussi celui de Z, N^2 (c'est à dire Q), mais aussi N^n avec n fini, et de toute réunion dénombrable d'ensembles finis comme par exemple l'ensemble des nombres algébriques.

On peut démontrer que le cardinal de R est strictement plus grand que N0. On peut l'écrire 2^N0, et cela va permettre de couvrir tous les segments, toutes les surfaces, les volumes, tous les espaces vectoriels de dimension finie ou denombrable, etc.

C'est le cardinal de vos segments, qui ne sont pas égaux mais ont le même cardinal, et ont aussi le même cardinal que la surface d'un carré
(bien que les propriétés soient manifestement très différentes...)

Pour trouver un cardinal plus grand que 2^N0, il faut passer par exemple à l'ensemble des fonctions de R dans R. Mais il n'y a déjà plus beaucoup de gens qui s'y intèressent...

[andretou]

Quel rapport ?

Par contre vous auriez pu relire une réponse qui vous a déjà été donnée : http://forums.futura-sciences.com/ma...ml#post5679457

Pourriez-vous SVP m'indiquer quelle réponse en particulier ?
Bien cordialement

[Médiat]

Le lien pointe directement sur la réponse.

Et deux messages plus bas il y a un lien que je vous redonne ici : http://forums.futura-sciences.com/ma...-ensemble.html

[invitea566cd38]

Pour ma part , je crois que la longueur d'un segment ne dépend que de ces deux extrémités et la distance définie et pas des autres points qui se trouvent au milieu ... Overdose de Topologie !

[andretou]

Merci Médiat pour ces rafraîchissements !
Pour autant, je n'arrive pas à comprendre comment 2 segments peuvent être de longueurs différentes alors que le cardinal de l'ensemble des points qui les composent est identique...

[Médiat]

Peut-être parce que vous avez en tête que la longueur d'un segment est égal à la (longueur d'un point) x (nombre de points),et qu'ensuite vous appliquez des raisonnement valides uniquement pour les ensembles finis


[EDIT]Correction faute de frappe finis/infinis

[andretou]

Peut-être parce que vous avez en tête que la longueur d'un segment est égal à la (longueur d'un point) x (nombre de points),et qu'ensuite vous appliquez des raisonnement valides uniquement pour les ensembles infinis

Pourtant, un segment n'est rien d'autre qu'une succession continue de points... Logiquement, ne devrait-on donc pas pouvoir définir le concept de longueur à partir du seul concept de point ?

[Médiat]

Logiquement, ne devrait-on donc pas pouvoir définir le concept de longueur à partir du seul concept de point ?

Logiquement ????? pour des ensembles finis, peut-être.

[invitef29758b5]

Salut

Logiquement, ne devrait-on donc pas pouvoir définir le concept de longueur à partir du seul concept de point ?

Définir une dimension à partir de quelque chose qui n' en a pas ?

[invite9dc7b526]

Pourtant, un segment n'est rien d'autre qu'une succession continue de points... Logiquement, ne devrait-on donc pas pouvoir définir le concept de longueur à partir du seul concept de point ?

remarque qu'en géométrie on dit qu'un segment contient des points mais on ne dit pas qu'il ne contient rien d'autre.

si tu veux une image appartenant au monde réel à laquelle te raccrocher, tu peux penser à un segment comme à un fil élastique: si tu tires sur les deux bouts de l'élastique, tu augmentes sa longueur mais il n'y a pas "plus d'élastique".

[andretou]

Salut

Définir une dimension à partir de quelque chose qui n' en a pas ?

Très bonne remarque (comme d'habitude !)
Et pourtant, comment définir les concepts de longueur et d'espace autrement qu'à partir du concept de point ?
Il faut bien que les concepts de longueur et d'espace procèdent de quelque chose...

[andretou]

Pour ma part , je crois que la longueur d'un segment ne dépend que de ces deux extrémités et la distance définie et pas des autres points qui se trouvent au milieu ... Overdose de Topologie !

Autrement dit, tu considères l'espace entre 2 points... Mais comment définis-tu l'espace ?

[andretou]

remarque qu'en géométrie on dit qu'un segment contient des points mais on ne dit pas qu'il ne contient rien d'autre.

C'est exact ! Mais si un segment contient autre chose que des points, alors qu'est-ce que cela peut être ?

[inviteede7e2b6]

y'en a qui ont du temps à perdre......

[andretou]

y'en a qui ont du temps à perdre......

Y en a même qui en perdent encore plus en lisant et en commentant des discussions qui ne les intéressent pas !...

[inviteede7e2b6]

celui qui me fera taire n'est pas encore conçu...

[Dlzlogic]

si tu veux une image appartenant au monde réel à laquelle te raccrocher, tu peux penser à un segment comme à un fil élastique: si tu tires sur les deux bouts de l'élastique, tu augmentes sa longueur mais il n'y a pas "plus d'élastique".

Oui, pourquoi pas, mais dans ce cas, il est très difficile de faire de la géométrie, de définir des transformations. Ma question : dans quel contexte ces notions (infini, ensemble de points, cardinal) sont-elles utilisées ?

[andretou]

celui qui me fera taire n'est pas encore conçu...

Alors sois le bienvenu dans cette discussion.

[andretou]

Pour dire que deux ensembles contiennent le même nombre d'éléments, il faut qu'on puisse trouver une bijection entre les deux. On dit alors qu'ils ont le même cardinal.

C'est le cas, les ensembles des points de 2 segments de longueurs différentes ont le même cardinal.

Cela ne veut absolument pas dire qu'il sont "égaux".

C'est précisément ce que je voudrais comprendre.
Les segments ont la même cardinalité, mais pourtant ils ne sont pas de longueurs égales... Pourquoi ?

[andretou]

Définir une dimension à partir de quelque chose qui n' en a pas ?

Grâce au calcul infinitésimal, ne passe-t-on pas d'un objet de dimension 1 (une courbe) à un objet de dimension 2 (une surface), et inversement ?
Du coup, pourquoi ne pas envisager de passer d'un objet de dimension 0 (un point) à un objet de dimension 1 (une droite) ?

[invitef29758b5]

Y en a même qui en perdent encore plus en lisant et en commentant des discussions qui ne les intéressent pas !...

Un pixel , c' est un gros point et donc il se sent concerné

Grâce au calcul infinitésimal, ne passe-t-on pas d'un objet de dimension 1 (une courbe) à un objet de dimension 2 (une surface), et inversement ?

Un dx , c' est un Δx qu' on fait tendre vers 0
Il n' est pas égal à 0 .
Il a la même dimension que leΔx

[andretou]

Un dx , c' est un Δx qu' on fait tendre vers 0
Il n' est pas égal à 0 .
Il a la même dimension que leΔx

Et pourtant, par dérivation et intégration, on passe bien d'une dimension à une autre ?

[invitef29758b5]

Si j' ais une longueur et que je la multiplie par une largeur , je "passe" d' une dimension longueur à une dimension aire .
Que longueur et largeur soient des dx et des dy , ça ne change rien .
Et intégrant je ne fais qu' additionner des aires ds = dx*dy
ds est aussi petit que l' on veux , mais ce n' est pas un point .