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Le livret des contre-exemples

  1. contrexemple

    Date d'inscription
    juin 2013
    Localisation
    Expérimentateur Théorique (E.T.)
    Messages
    919

    Re : Le livret des contre-exemples

    Il me semble que c'est plus difficile d'avoir sur l'ensemble dense maigre de la continuité et sur l'ensemble complémentaire de la discontinuité.

    D'ailleurs j'ai du mal à me l'imaginer, si quelqu'un à un exemple de ceci, j'en serais ravi.

    -----

     


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  2. khatbane-mohammed

    Date d'inscription
    juin 2015
    Messages
    29

    Re : Le livret des contre-exemples

    En analyse , pour la fonction qui est continue et n'est pas dérivable , bah il y'a un exemple de la fonction de weierstrass ; cette fonction est continue partout mais elle n'est pas dérivable
    Images attachées
     

  3. Tryss

    Date d'inscription
    janvier 2010
    Messages
    3 921

    Re : Le livret des contre-exemples

    Citation Envoyé par contrexemple Voir le message
    Salut,

    Cela marche aussi quand on prend : et c'est plus simple à voire.
    Soit p/q dans Q alors, tout voisinage ouvert de p/q contient des rationnelles avec une infinité de quotient ou de numérateur différents.
    Elle est continue sur le complémentaire (car la fonction constante est toujours continue).
    Ta fonction n'est nul part continue... En effet, il existe une suite tel que , mais (caractérisation séquentielle de la continuité)
     

  4. contrexemple

    Date d'inscription
    juin 2013
    Localisation
    Expérimentateur Théorique (E.T.)
    Messages
    919
    Alors tu as juste mal exprimé la potentialité de ton contre-exemple :
    est discontinue en chaque point de et continue en chaque point de son complémentaire.
    Car le contre-exemple que je donne respecte :
    Citation Envoyé par Tryss Voir le message
    est discontinue sur et continue sur son complémentaire.
    Cela me fait penser au contre-exemple de :
    Si une fonction de R est continue sur Q et sur son complémentaire alors R est continue.

    Il suffit de prendre f(x)=0 si x dans Q et f(x)=1 sinon.

    Un de plus : si f fonction de R dans R est tel que pour tout a,b il existe c,d tel que f([a,b])=[c,d] alors f est continue.
    Contre-exemple : f(x)=0 si x=0, f(x)=sin(1/x) sinon.
    Dernière modification par Médiat ; 15/06/2015 à 05h25.
     

  5. Médiat

    Date d'inscription
    août 2006
    Âge
    67
    Messages
    16 949

    Re : Le livret des contre-exemples

    Confusion entre "f est continue sur un sous ensemble" et "la restriction de f à un sous-ensemble est continue" !
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
     


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  6. contrexemple

    Date d'inscription
    juin 2013
    Localisation
    Expérimentateur Théorique (E.T.)
    Messages
    919

    Re : Le livret des contre-exemples

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Confusion entre "f est continue sur un sous ensemble" et "la restriction de f à un sous-ensemble est continue" !
    Soit un sous ensemble de R, dire que f continue en chaque point de E, n'est pas la même chose que de dire que f continue sur E.
     

  7. Médiat

    Date d'inscription
    août 2006
    Âge
    67
    Messages
    16 949

    Re : Le livret des contre-exemples

    Rien à voir avec ce que j'ai écrit.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
     

  8. Mocassins

    Date d'inscription
    mai 2012
    Messages
    152

    Re : Le livret des contre-exemples

    Normalement, être continu sur une partie c'est exactement que sa restriction à cette partie soit continue pour la topologie induite.
    Sinon on dit "continue en tout point de".



    Corps ordonnés non archimédiens:

    Dans un corps ordonné , on peut parler de suites de Cauchy: les suites telles que
    .
    Et de convergence d'une suite vers un point :
    .


    Si un corps ordonné possède la propriété de la borne supérieure, alors il est archimédien, ses suites de Cauchy convergent, et il est isomorphe à .
    Si un corps ordonné est archimédien et si ses suites de Cauchy convergent alors il possède la propriété de la borne supérieure et est isomorphe à .

    Mais il existe des corps ordonnés dont les suites de Cauchy convergent qui ne sont pas archimédiens:

    -Si un corps ne possède aucune partie dénombrable non majorée, alors ses suites de Cauchy sont constantes à partir d'un certain rang donc elles convergent. (exemple: )
    -Tout corps ordonné possédant une partie dénombrable non majorée se plonge densément dans un corps dont les suites de Cauchy convergent. Si le corps de départ n'est pas archimédien, celui d'arrivée non plus. (exemple: )
     

  9. contrexemple

    Date d'inscription
    juin 2013
    Localisation
    Expérimentateur Théorique (E.T.)
    Messages
    919

    Re : Le livret des contre-exemples

    Effectivement : "être continu sur une partie c'est exactement que sa restriction à cette partie soit continue pour la topologie induite" mais Médiat distingue deux périphrases aux même sens.

    Sinon :
    Cela me fait penser à cette exemple qui peut servir de contre-exemple :
    Sur R[X]/X^n R.e.v de dimension n, on prends sur cette ensemble l'ordre lexicaux graphique avec 1>X>...>X^(n-1).
    Alors l'ordre est compatible avec l'anneau c'est-à-dire a,b c,d dans cette e.v tel que a>b et c>d alors a+c>b+d et si de plus b>0 et d>0 alors c*d>b*c.
     

  10. Médiat

    Date d'inscription
    août 2006
    Âge
    67
    Messages
    16 949

    Re : Le livret des contre-exemples

    Citation Envoyé par Mocassins Voir le message
    Normalement, être continu sur une partie c'est exactement que sa restriction à cette partie soit continue pour la topologie induite.
    Certes il peut exister une ambiguïté, mais ce n'est, évidemment, pas le sens utilisé depuis le début (message # 55).
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
     

  11. Mocassins

    Date d'inscription
    mai 2012
    Messages
    152

    Re : Le livret des contre-exemples

    Il n'y a pas plusieurs sens de "continue sur" et "continue en tout point de", mieux vaut se référer aux définitions non?

    Ce que je comprends est que Tryss n'a pas précisé que est continue en tout point de , et que contrexemple n'a pas précisé qu'elle est discontinue sur . Tryss s'est aussi trompé en pensant que contrexemple revendiquait la continuité de sa fonction en chaque point de .

    Peut-être que l'expression "nulle part continue" reste la plus ambigüe, mais il semble plus logique de lui faire signifier "continue en aucun point" que "continue sur aucune partie" car il y a toujours les singletons et l'ensemble vide sur lesquels la fonction est continue.
     


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