Équation différentielle de deuxième ordre à coefficients constants?

[benmrad]

Dans mon cours de maths il y a un paragraphe parlant d'un cas précis des équations différentielles de deuxième ordre à coefficients constants.

y''+ay'+by=P(x).exp(wx)
avec P(x) un polynome et w un réel ou un imaginaire.

Pour la solution homogène c'est simple, et pour la solution particulière la règle dit: yp(x)=Q(x).exp(wx)

en s'exerçant j'ai rencontré un petit problème: comment determiner Q(x) sachant que je dispose de toute les règles quant au degré de Q, ça peut être égal au degré de P ou +1 ou +2

Mais bon, dans ce cas par exemple: y''-2y'+y=x³.exp(x) je cherche la solution homogène et je la trouve facilement puis
je trouve que degré de Q= degré de P+2 jusqu'au là tout est bon. je fais les dérivés pour trouver y''p et y'p et je remplace dans y''-2y'+y=x³.exp(x) et je trouve que Q''(x)=x³ cela veut-t-il dire que le Q(x)=1/20 x⁵? y a pas x⁴ dans ce polynome? Je ne suis pas sur je bugg
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[gg0]

Bonjour.

Je traite seulement la question :
Q''(x)=x³ donne Q'(x)=x^4/4 +C1 puis Q(x)=x^5/20+C1x+C2. Pas de x^4.

Les maths c'est simple, quand on applique les règles sans imaginer à priori les réponses.

Cordialement.

NB : Comme on cherche une solution particulière, on peut prendre C1=C2=0, puis vérifier.

[Inaaass]

Quand tu determines le degres le Q , comme dans ton exemple , tu recherches une solution particulière de la sorte : yp(x) =Q(x).exp(x) ( pour ton exemple sinon on pourrait avoir autre chose que exp(x)). Dans ce cas , tu calculs tes yp" et yp' , avec l'expression de Q(x) = ax^5 + bx^4 +cx^3+dx^2+ex+d , pour simplifier les calculs ici , on pourrais prendre Q(x)= ax^5 + bx^4 +cx^3+dx^2 car de toute manière , ex+d on les retrouves dans les l'equation homogène ( car Delta=0) . Bref , on calculant yp' et yp" avec l'expression COMPLÈTE de Q(x) , tu remplaces dans l'équation différentiel ensuite tu simplifies toutes les exp(x) et tu identifies en rassemblant les termes de chaque puissances à part , ainsi tu arrives à des équations ( autant d'équations que d'inconnus) .
Ainsi tu retrouves a , b , c , d et tu as ton yp(x).
En espérant t'avoir aider.

[benmrad]

Merci infiniment

[A voir en vidéo sur Futura]

[benmrad]

Merci beaucoup Inaaass, tu m'as vraiment aidé

[Inaaass]

Sans soucis ! Avec plaisir , Très bon courage

[karim19240]

Bonsoir et bonne année à tous

Je dois résoudre une équation différentiele de second ordre en utilisant la transformée de Laplace et je suis bloqué à la décomposition en élément simple.

équation du second ordre: y"+y'+y= H (t)−2 ·H (t −1)+H (t −2)
condition initiale:
y'(0)=0
y(0)=0
Merci pour votre aide

[God's Breath]

Bonjour,

je suis bloqué à la décomposition en élément simple.

Quelle est la fraction à décomposer en éléments simples ?

[karim19240]

(1-2*exp^-p+exp^-2*p)/p(p²+p+1)= A/p+Bp+ C/p²+p+1

J'ai trouvé le coefficient A mais je ne trouve pas les coefficients B et C.

[God's Breath]

On ne peut pas décomposer qui n'est pas une fraction rationnelle, mais seulement .

La méthode classique

On part de :


On multiplie par , d'où :



et on évalue pour pour annuler le polynôme .
L'égalité obtenue permet de calculer et

[karim19240]

D'accord merci beaucoup