Nombre divisibles spéciaux

[invite7863222222222]

Bonjour,

m'interessant un peu au nombres parfaits, aux nombres premiers, etc.. je me suis proposé de regarder certains nombres qui pouvaient ressembler à peu près au nombres premiers. J'ai donc pensé aux nombres divisibles par la somme de leur chiffre.

Par exemple :
12 est divisible par 3=1+2
18, 21, 24, 27 etc... aussi.

D'après mes simulations, il semble que le nombre N(x) de nombres de ce type inférieur à x, suive grossierement une loi du type

N(x) ~ x/ln(x)

J'ai pas poussé plus loin que x ~= 400 000


Bizarre non ? Peut-être que de tels nombres ont été étudiés déjà.

Je pense qu'ill devrait y avoir les courbes en attachement.
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[invite6b1e2c2e]

Salut,

Oui, c'est effectivement très bizarre, parce que les diviseurs que tu regardes sont de l'ordre de ln(x)^truc, et donc, au moins moralement, tu devrais perdre plein de gens comme ça, et beaucoup plus en proportion que 1- 1/ln(x).

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rvz, qui trouverait ce genre de résultat très étonnant

[martini_bird]

Salut,

c'est assez incroyable de voir ce genre de régularité, et la théorie des nombres en est plein... Le problème une fois que l'on a découvert des choses de manière empirique, c'est d'essayer de les démontrer ( et c'est là que ça fait très très mal en général - cf. le théorème des nombres premiers : un siècle de travail )

jreeman, on va appeler tes nombres des nombres de jreeman...

Premier réultat : les nombres premiers > 10 ne sont pas des nombres de jreeman. (ok c'est facile ... )

Pourrais-tu donner le ratio des nombres de jreeman sur celui des nombres premiers ?

Cordialement.

[matthias]

Premier réultat : les nombres premiers > 10 ne sont pas des nombres de jreeman. (ok c'est facile ... )

Deuxième résultat : il y en a une infinité (10ⁿ)

[A voir en vidéo sur Futura]

[martini_bird]

Deuxième résultat : il y en a une infinité (10ⁿ)

Je traduis ce premier résultat fondamental sous forme de minoration pour le nombre J(x) de nombres de jreeman inférieurs à x :

PS : le -1 est optionnel mais ceci demanderait une longue démonstration.

[matthias]

On peut remarquer que si A est un nombre de jreeman alors A.10ⁿ aussi. Tu dois pouvoir améliorer ta minoration avec ça

[GuYem]

Une petite pierre simple dans l'édifice.

L'ensemble des nombres de jreeman contient 3Z.

[acx01b]

bonjour !
je suis géné par le manque de précision de jreeman,
je suppose que vous parlez des nombres divisibles par la somme de leurs chiffre, et non pas des nombres divisibles par la somme de la somme de leurs chiffres.......

exemple pratique :
- 595 on cherche s'il est divisible par 19 ou par 1 ?????!
- dans votre cas considère-t-on que 1000 est-il divisible par 1 ??????

comme réponses je penche pour 19 et oui ?

et enfin je n'ai pas le courrage de le programmer maintenant, la fréquence d'apparition de ces nombres change-t-elle beaucoup avec la base ???

a+

[matthias]

L'ensemble des nombres de jreeman contient 3Z.

33 -> 6 et 6 ne divise pas 33

Pour acx01b, j'ai compris que l'on ne considérait que la somme et pas la somme de la somme de la somme. (Donc a priori, l'ensemble ne doit pas non plus contenir 9Z).

[GuYem]

Ah pardon, par "somme des chiffres", je comprends toujours somme de la somme ...

[matthias]

Si on faisait la somme jusqu'à n'obtenir qu'un chiffre, alors l'ensemble contiendrait 9Z et on aurait un O(x), ce qui ne correspond visiblement pas au x/ln(x) obtenu sur les 400 000 premiers chiffres.

[invite636fa06b]

Approche probabiliste (à affiner)
L'écart entre deux nombres de jreeman est de l'ordre de 10 ln(N) au voisinage de N.
Plus précisément la somme des chiffres d'un nombre quelconque est de l'ordre de 5*ent(Log(N)+1) soit un peu plus de 10*ln(N) mais je pense qu'il faudrait minorer ce chiffre pour tenir compte de la plus forte proportion de nombres commençant par 1..
Cela donne donc une densité de 0,1/ln(N)

NB on peut à chaque nombre premier obtenir une infinité de nombres de Jreeman en rajoutant autant de zéro que l'on veut.

[invite636fa06b]

Correction du message précédent : Remplacer 10 par 2 (erreur dans le passage log decimal, log néperien)

[invite7863222222222]

Je vois que cela vous interesse ca me motive mais je ne suis pas du tout mathématicien, je suis juste en période de chomage alors j'en profite pour revenir un peu a mes premières amours.


Par contre je parlais de la somme des chiffres du nombre et non pas de la somme de la somme des nombres. Pourquoi ? parcequ'il me semble plus interessant d'etudier la divisibilité des nombres par un ensemble infini et non pas seulement par un ensemble fini de nombre {1;2;3;....9}, mais j'avoue que ca pourrait être interessant. On a qu'a apellé ces derniers nombres les nombres de jreeman-guyem afin de pas se mélanger et perdre du temps à comprendre de quel nombre parle-t-on (mon propos initial sur les courbes et le logarithme népérien, concernent bien les nombres de jreeman mais pas jreeman-guyem).

Je ne sais pas comment prouver ce genre de résultat, mais je pense que c'est indépendant de la base (au pire je vais vérifier sur quelques cas).

Pas le temps de regarder toutes vos réponses malheureusement, mais je vais continuer a investiguer si j'en trouve le temps (ce que j'espere). Vite fait déjà, le ratio sur le nombre de nombres premier me semblerait interessant a regarder, je regarderai ca, plus vos autres commentaires n'hésitez pas vous aussi si ca vous plait, par contre c'est bien de différencier bien les deux nombres jreeman et jreeman-guyem. A la limite guyem, si tu veux ouvrir un autre sujet à coté, pas de problème.

@+

[invite7863222222222]

Bon, je reviens vers vous mais vous embeterai pas longtemps car j'ai refait mes calculs suite a une petite erreurs dans mon programme.

Il semblerait que pour les nombres de jreeman ou jreeman-guyem, la loi ne suive pas la loi du théoreme des nombres premiers :~ x/ln(x). Il semblerait que ca soit tout simplement ~ x.

Ca aurait été trop beau .

Désolé pour

[invite636fa06b]

Bonjour,

Je pense comme toi qu'en prenant la somme de la somme, on arrive à une famille très nombreuse (environ un tiers des nombres sont divisibles par un des chiffres). Leur fréquence est stable lorsque n grandit.
En revanche, la distribution des nombres de Jreeman est surprenante, ce n'est pas tout à fait en x, la densité diminue mais beaucoup plus lentement que mon calcul probabiliste (qui suppose beaucoup de chose indépendantes) ne le laisse penser.
Il existe des régularités bizarres. Pour le fun, voici ce que donne l'écart moyen entre deux nombres de Jreeman calculée par blocs de 20 :
Pour le kième nombre de Jreeman, on calcule la différence entre le (k+10) et (k-10) que l'on divise par 20

[GuYem]

Salut Zinia. Tu peux réexpliquer ton approche probabiliste s'il-te-plait ? Je n'ai pas compris.

[matthias]

Il semblerait que pour les nombres de jreeman ou jreeman-guyem, la loi ne suive pas la loi du théoreme des nombres premiers :~ x/ln(x). Il semblerait que ca soit tout simplement ~ x.

Pour les jreeman-guyem, il est évident que la loi est en O(x), mais ~ x je trouverais ça surprenant.
Et ce serait encore plus surprenant que la loi des jreeman soit en O(x).

[invite7863222222222]

Pour les jreeman-guyem, il est évident que la loi est en O(x), mais ~ x je trouverais ça surprenant.

En fait mes souvenirs datent un peu sur la signification exact de ~x. Pour moi c'était comme dire = O(x) ou plus simplement proportionnellement à X. C'est quoi la différence par rapport à tout ca ? si tu pouvais me préciser, ca serait sympa.

Plus simplement, je voulais dire que ca semble augmenter proportionnellement à x pour les nombre de jreeman ou jreeman-guyem.

Cela te choque-t-il ? Pourquoi ?

Sinon pour les nombres de jreeman, j'ai remarqué en fait que ca ressemble a des fractales. J'ai tout d'abord remarqué des irrugularités aux 100 000, 200 000, 300 000... puis en changeant d'echelle des irrégularités aux 10 000, 20 000, 30 000... meme chose pour 1000, 2000, 3000... En fait ca fait des petites vaques régulières qui débute de, par exemple, 1000 jusqu'à 2000, plus de 2000 jusqu'à 3000 etc... (même chose pour 10 000 jusqu'a 20 000, 20 000 jusqu'à ...).

Intéressant ? peut-être que oui, en tout cas, ca m'a amusé. Peut être que ca serait intéressant de prouver que ca fait un fractal et de trouver les constantes de ce fractal. Mais aucun idée pour savoir comment m'y prendre !
Cela veut dire que au niveau des nombres X000... où la somme des chiffres donne des petits nombres, il y a plus de chance qu'un nombre soit divisible par la somme de ces chiffres.

C'est assez normal car intuitivement on sent bien que les nombres en général sont "plus" divisibles par des petits que par des grands.

[matthias]

En fait mes souvenirs datent un peu sur la signification exact de ~x. Pour moi c'était comme dire = O(x) ou plus simplement proportionnellement à X. C'est quoi la différence par rapport à tout ca ? si tu pouvais me préciser, ca serait sympa.

~x signifie équivalent à x, c'est-à-dire que le rapport entre ton nombre et x tend vers 1, et O(x) signifie que le rapport entre ton nombre et x est majoré. Et du coup j'ai dit une ânerie puisque c'est évident que ce rapport est majoré par 1 , ce qui est plus intéressant c'est qu'il soit minoré par une valeur strictement positive.
En fait ici c'est x = O(J(x)), je crois qu'il y a une notation pour ça, mais je ne m'en souviens plus.

Pour la similarité à des échelles différentes, je pense que ma remarque du message #6 est un bon début d'explication.

[invite7863222222222]

Autre chose vu les courbes, peut etre que l'évolution du nombre de ces nombres n'est ni proportionnelle à x/ln(x), ni à x, mais à x ln(x), allé savoir. Il faudra surment un siècle aussi à démontrer cela .

J'ai mis les courbes si cela vous intéresse, celles-ci me semblent correctes.

Zinia, tu peux m'expliquer l'histoire des blocs de 20, je n'ai pas bien compris. Je n'ai pas réussi a voir ta courbe aussi (?).

[matthias]

Autre chose vu les courbes, peut etre que l'évolution du nombre de ces nombres n'est ni proportionnelle à x/ln(x), ni à x, mais à x ln(x), allé savoir.

Ca ferait infiniment plus de nombres de jreeman que d'entiers. Ca ne va effectivement pas être facile à démontrer

[invite7863222222222]

oui j'ai dit une grosse bêtise.

[invite8b04eba7]

En fait ici c'est x = O(J(x)), je crois qu'il y a une notation pour ça, mais je ne m'en souviens plus.

Je crois que quand f=O(g) et g=O(f) on note f=(g) (prononcer "èf est un téta de gé").

[invite7863222222222]

ce qui est plus intéressant c'est qu'il soit minoré par une valeur strictement positive

oui difficile à dire si ca tend vers 0 ou vers une constante strictement positive.

[matthias]

En fait ce que je cherchais c'est , mais effectivement ici autant utiliser le Theta.

[matthias]

oui difficile à dire si ca tend vers 0 ou vers une constante strictement positive.

Pour les nombres de jreeman-guyem on sait que c'est minoré par une constante strictement positive supérieure ou égale à 1/9 puisque l'ensemble contient 9N.

[acx01b]

salut, j'ai fait mon programme qui compare les résultats pour les nombres entre 1 et 1000, en base 2 à 255...!

voici donc la courbe que j'ai obtenu:
en x la base où j'ai fait le calcul, et en y le nombre de Lreeman que j'ai trouvé.

ma définition d'un Lreeman: nombre divisible par la somme de ses chiffres en base b, où la somme de ses chiffrers est la somme simple c'est à dire que la somme en base 10 des chiffres du nombre 1038 = 12 et non pas 3 !
un nombre dont la somme des chiffires vaut 1 est un nombre de Lreeman car tout nombre est divisible par 1...

je n'ai pas mis l'échelle dans ma courbe mais le pic est en base 251: 250 Lreeman entre 1 et 1000 (rappel: 1 est un nombre de Lreeman)
a+

[invite7863222222222]

1 est un nombre de Lreeman car tout nombre est divisible par 1...
Oui justement un peu comme à la manière des nombres premiers, il ne faudrait peut etre pas considéré les nombres dont la somme est egale à lui même ou à 1 justement. Mais ca ne change pas bcp tes résultats, je pense.

Sinon j'ai pas compris en ordonnée tu as reporté le nombre de nombre de Jreeman entre 0 et 1000 c'est ca ?

Y'a un minimum au dixieme de ta courbe, ce qui donne un minium pour la base 25, non ?

Finalement après tous ces détours, il me semble qu'on revient au point de départ, donc que Jreeman(x)/x tende vers 0 disons peut etre en 1/ln(x). Donc finalement on se retrouve bien avec un espece de résultat, équivalent du théorème des nombres premiers, pour des nombres divisibles, et qu'on pourrait apeller la conjoncture des nombres de Jreeman. Par contre, moi je me lance pas dans la démonstration . Enfin bon on peut surement exprimer ça, d'une manière un peu plus ensembliste à mon avis, un truc du genre.

Soit deux ensembles omega et gamma, avec gamma inclus dans omega, et de tailles respectives p et q alors la probabilité qu'un élément de l'ensemble omega soit divisible par celui de gamma est 1/q.

Mais à mon avis c'est un résultat hyper connu et démontré, non ?

[invite7863222222222]

autre résultat il semble qu'on peut tjrs trouver deux nombres de jreeman qui se suivent, un peu comme les nombres premiers jumeaux (11;13, 17;19 ...).